Для связи в whatsapp +905441085890

Ряды Тейлора и Маклорена

В вопросах приложения теории рядов крайне важно уметь представлять данную функцию Ряды Тейлора и Маклорена в виде суммы степенного ряда, т.е. разлагать функцию в степенной ряд.

Допустим, что функция Ряды Тейлора и Маклорена разложена в степенной ряд в интервале сходимости Ряды Тейлора и Маклорена: Ряды Тейлора и Маклорена

Выразим коэффициенты ряда Ряды Тейлора и Маклорена через значения функции Ряды Тейлора и Маклорена и её производных в точке Ряды Тейлора и Маклорена.

Для этого, подставив в Ряды Тейлора и Маклорена вместо Ряды Тейлора и Маклорена Ряды Тейлора и Маклорена, получим Ряды Тейлора и Маклорена.

По свойству степенных рядов (свойство 3 лекции 35), почленно продифференцируем наш ряд:

Ряды Тейлора и Маклорена

Подставив в это равенство вместо Ряды Тейлора и Маклорена Ряды Тейлора и Маклорена, получим Ряды Тейлора и Маклорена.

Ещё раз применяя свойство степенных рядов, почленно продифференцируем ряд

Ряды Тейлора и Маклорена
Ряды Тейлора и Маклорена
Ряды Тейлора и Маклорена

Подставив в это равенство вместо Ряды Тейлора и Маклорена Ряды Тейлора и Маклорена, получим Ряды Тейлора и Маклорена.

Продолжая эти действия, будем иметь: Ряды Тейлора и Маклорена Ряды Тейлора и Маклорена Ряды Тейлора и Маклорена или Ряды Тейлора и Маклорена где полагаем Ряды Тейлора и Маклорена.

Из данных формул определим значения коэффициентов Ряды Тейлора и Маклорена ряда

Ряды Тейлора и Маклорена
Ряды Тейлора и Маклорена

Подставив значения коэффициентов в наш ряд, получим:

Ряды Тейлора и Маклорена

Ряд называется рядом Тейлора для функции Ряды Тейлора и Маклорена в точке Ряды Тейлора и Маклорена.

Ряд Тейлора для функции Ряды Тейлора и Маклорена в точке Ряды Тейлора и Маклорена Ряды Тейлора и Маклорена называется рядом Макларена.

Если функция Ряды Тейлора и Маклорена имеет в точке Ряды Тейлора и Маклорена производные любого порядка, то для неё можно составить ряд Тейлора или ряд Маклорена. При этом функция Ряды Тейлора и Маклорена называется порождающей функцией для соответствующего ряда.

Пример №36.1.

Найдите третий член ряда Маклорена Ряды Тейлора и Маклорена для функции Ряды Тейлора и Маклорена.

Решение:

Третий член ряда Маклорена для функции Ряды Тейлора и Маклорена имеет вид Ряды Тейлора и Маклорена. Для его нахождения вычислим вторую производную функции Ряды Тейлора и Маклорена в точке Ряды Тейлора и Маклорена:

1) найдём Ряды Тейлора и Маклорена: Ряды Тейлора и Маклорена

2) найдём Ряды Тейлора и Маклорена:

Ряды Тейлора и Маклорена

3) найдём Ряды Тейлора и Маклорена

Подставим Ряды Тейлора и Маклорена в выражение Ряды Тейлора и Маклорена, получим: Ряды Тейлора и Маклорена. Таким образом, третий член ряда Маклорена для функции Ряды Тейлора и Маклорена равен Ряды Тейлора и Маклорена.

Ответ: Ряды Тейлора и Маклорена.

Пример №36.2.

Составьте ряд Маклорена для функции Ряды Тейлора и Маклорена.

Решение:

Ряд Маклорена для функции Ряды Тейлора и Маклорена имеет вид Ряды Тейлора и Маклорена Составим его для функции Ряды Тейлора и Маклорена. Для этого найдём значения функции Ряды Тейлора и Маклорена и последовательно её производных в точке Ряды Тейлора и Маклорена:

Ряды Тейлора и Маклорена

Ряды Тейлора и Маклорена Поскольку для функции Ряды Тейлора и Маклорена, то Ряды Тейлора и Маклорена.

Подставим найденные значения в формулу ряда Маклорена и получим:

Ряды Тейлора и Маклорена

Таким образом, функция Ряды Тейлора и Маклорена порождает следующий ряд Маклорена

Ряды Тейлора и Маклорена

Ответ: функции Ряды Тейлора и Маклорена сопоставляется ряд Ряды Тейлора и Маклорена

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Область сходимости степенного ряда.
Свойства степенных рядов.
Разложение элементарных функций в ряд.
Практическое применение разложений функций в ряд.