Ряды в комплексной плоскости

Числовые ряды

Ряд

членами которого являются комплексные числа, называется числовым рядом (в комплексной области). Ряд (76.1) с комплексными членами можно записать в виде

где и — действительные числа.

Сумма первых членов ряда (76.1) называется -й частичной суммой ряда.

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда: , то ряд (76.1) называется сходящимся, a — суммой ряда; если не существует, то ряд (76.1) называется расходящимся.

Очевидно, что ряд (76.1) сходится тогда и только тогда, когда сходится каждый из рядов

и

При этом , где — сумма ряда (76.2), a — сумма ряда (76.3). Это означает, что исследование сходимости ряда с комплексными членами сводится к исследованию сходимости рядов (76.2) и (76.3) с действительными членами.

В теории рядов с комплексными членами основные определения, многие теоремы и их доказательства аналогичны соответствующим определениям и теоремам из теории рядов с действительными членами.

Приведем некоторые из них.

Остатком ряда (76.1) называется разность

Теорема 76.1 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд (76.1) сходится, то его общий член при стремится к нулю: .

Ряд (76.1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

Теорема 76.2. Если сходится ряд (76.4), то абсолютно сходится ряд (76.1).

По условию ряд с общим членом сходится. Тогда в силу очевидных неравенств и и на основании признака сравнения (теорема 60.1) сходятся ряды и . Отсюда, следует сходимость рядов (76.2) и (76.3), а значит, и абсолютная сходимость ряда (76.1).

Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму , то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму , что и исходный ряд.

Абсолютно сходящиеся ряды можно почленно складывать и перемножать.

При исследовании на сходимость рядов с комплексными членами применимы все известные из действительного анализа признаки сходимости знакопостоянных рядов, в частности признак Даламбера: если существует , то при ряд (76.4) абсолютно сходится, а при — расходится.

Степенные ряды

Степенным рядом в комплексной области называют ряд вида

где — комплексные числа (коэффициенты ряда), — комплексная переменная.

Рассматривают также и степенной ряд вида

который называют рядом по степеням разности , — комплексное число. Подстановкой ряд (76.6) сводится к ряду (76.5).

Ряд (76.5) при одних значениях аргумента может сходиться, при
других — расходиться.

Совокупность всех значений , при которых ряд (76.5) сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Основной теоремой теории степенных рядов является теорема Абеля, устанавливающая область сходимости степенного ряда.

Теорема 76.3 (Абель). Если степенной ряд (76.5) сходится при (в точке ), то он абсолютно сходится при всех значениях , удовлетворяющих условию .

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы Абеля в действительном анализе (теорема 63.1).

Следствие 76.1. Если ряд (76.5) расходится при , то он расходится при всех значениях , удовлетворяющих условию (т. е. вне круга радиуса с центром в начале координат).

Из теоремы Абеля следует существование числа такого, что при всех значениях , удовлетворяющих неравенству , степенной ряд (76.5) абсолютно сходится. Неравенству удовлетворяют точки комплексной области, лежащие внутри круга радиуса с центром в точке .

Величина называется радиусом сходимости ряда (76.5), а круг — кругом сходимости ряда. В круге ряд (76.5) сходится, вне этого круга — расходится; на окружности могут располагаться как точки сходимости, так и точки расходимости ряда.

Принято считать, что , когда ряд (76.5) сходится в одной точке , когда ряд сходится на всей комплексной плоскости. Кругом сходимости ряда (76.6) является круг с центром в точке .

Радиус сходимости ряда (76.5) можно вычислить по формуле (или ), получаемой после применения признака Даламбера (или Коши) к ряду из модулей его членов исходного ряда.

Приведем (без доказательств) некоторые свойства степенного ряда.

1. Сумма степенного ряда внутри круга его сходимости есть аналитическая функция.
2. Степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно дифференцировать и почленно интегрировать любое число раз. Полученный при этом ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

Пример №76.1.

Найти область сходимости ряда .

Решение: Здесь ,

т. е. . Следовательно, областью сходимости является вся плоскость .

Пример №76.2.

Найти область сходимости ряда .

Решение:

Здесь . Данный ряд сходится в области .

Дополнительный пример №76.3.

Ряд Тейлора

Теорема 76.4. Всякая аналитическая в круге функция может быть единственным образом разложена в этом круге в степенной ряд

коэффициенты которого определяются формулами

где — произвольная окружность с центром в точке , лежащая внутри круга.

Степенной ряд (76.7) называется рядом Тейлора для функции в рассматриваемом круге.

Возьмем произвольную точку внутри данного круга и проведем окружность с центром в точке и радиусом так, чтобы точка находилась внутри круга (см. рис. 295).

Так как функция аналитична в круге и на его границе , то ее значение в точке можно найти по формуле Коши (75.9): , где — точка на окружности . Имеем:

Так как , то , следовательно, выражение можно рассматривать как сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем . Таким образом,

Умножим обе части этого равенства на величину и проинтегрируем его почленно по контуру . Получим:

т. e. , или , где . Используя формулу (75.10), получим представление коэффициентов ряда через -е производные функции в точке : .

Таким образом, мы получили разложение функции в степенной ряд (76.7), коэффициенты которого определяются по формулам (76.8).

Докажем единственность этого разложения.

Допустим, что функция в круге представлена другим степенным рядом

Последовательно дифференцируя почленно этот ряд бесконечное число раз, будем иметь:

Полагая в этих равенствах, а также в исходном ряде , получаем: Сравнивая найденные коэффициенты ряда с коэффициентами ряда (76.7), устанавливаем, что , а это означает, что указанные ряды совпадают.

Функция разлагается в степенной ряд единственным образом.

Приведем разложения некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена):

Первые три разложения справедливы во всех точках комплексной плоскости, последние два — в круге .

Заменив на в разложении функции , получим:

т. е. формулу Эйлера .

Дополнительная лекция: Нули аналитической функции

Ряд Лорана

Теорема 76.5. Всякая аналитическая в кольце функция может быть разложена в этом кольце в ряд

коэффициенты которого определяются формулой

где — произвольная окружность с центром в точке , лежащая внутри данного кольца.

Рад (76.11) называется рядом Лорана для функции в рассматриваемом кольце.

Возьмем произвольную точку внутри кольца и проведем две окружности и с центрами в точке так, чтобы точка была между ними и каждая окружность находилась внутри данного кольца (см. рис. 296).

Функция аналитична в кольце между окружностями и и на самих окружностях. Поэтому по формуле Коши для многосвязной области имеем:

где обе окружности и обходятся против часовой стрелки.

Преобразуем слагаемые, стоящие в правой части равенства (76.13), рассуждая, как и при выводе формулы Тейлора.

На окружности выполняется неравенство , или . Поэтому дробь можно представить в виде

Тогда

Проинтегрируем это равенство по контуру :

т.е. , где

(здесь , так как функция , возможно, не аналитична в точке ).

На окружности имеем , т. е. . Тогда

Значит,

Проинтегрируем это равенство почленно по контуру :

т.е. , где

Подставив разложения (76.14) и (76.15) в равенство (76.13), получим

Формулы для коэффициентов и можно объединить, взяв вместо контура и любую окружность с центром в точке , лежащую в кольце между и (следует из теоремы Коши для многосвязной области): .

Можно доказать, что функция , аналитическая в данном кольце , разлагается в ряд Лорана (76.11) единственным образом.

Ряд Лорана для функции

состоит из двух частей. Первая часть ряда Лорана, т. е. ряд

называется правильной частью ряда Лорана, этот ряд сходится к аналитической функции внутри круга . Вторая часть ряда Лорана, т. е. ряд

называется главной частью ряда Лорана; этот ряд сходится к аналитической функции вне круга .

Внутри кольца ряд сходится к аналитической функции .

В частности, если функция не имеет особых точек внутри круга , то ее разложение в ряд Лорана обращается в ряд Тейлора.

Замечание. На практике при разложении функции в ряд Лорана используют известные разложения основных элементарных функций; дробь вида разлагается в ряд, являющийся рядом геометрической прогрессии; дробь вида , где — целое, разлагается в ряд, который получается из ряда геометрической прогрессии последовательным дифференцированием раз; сложная дробь представляется в виде суммы простейших дробей.

Пример №76.4.

Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности точки .

Решение:

Воспользуемся известным разложением

справедливым на всей комплексной плоскости. Положив , получим

Дополнительный пример №76.5.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

• Решение задач по высшей математике

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Предел и непрерывность функции комплексного переменного

Основные элементарные функции комплексного переменного

Понятие вычета и основная теорема о вычетах

Преобразование Лапласа