Семейство функций

Семейство функций

• Функциональная семья Подумай об уравнении .y = C (*, +1), (1) Где C — любое действительное число или параметр, как они говорят. Учитывая конкретное значение для C (например, C = 1), получается уравнение y = +1. Рисунок 108. После размещения вы получите новую пару Булево, где уравнение у = ~ (х2 — {- ). Когда С = 0 y = 0), то есть ось Ox. Таким образом, уравнение (1) определяет ряд функций, которые зависят от любой отдельной константы (или параметра), а не от одной функции.

Отображается кривая, соответствующая семейству рис. 108 и соответствующая C = ± 1 ,, »0 *. Здесь найдите производную функции (1) / = 2 Cx (2) Рассмотрим одновременные уравнения (1) и (2). Исключить любую константу (параметр) C из них. Решение уравнения (2) для C и подстановка полученного уравнения в уравнение (1) дает: C-yx> Y = или ^ + y + W

Поскольку каждая функция имеет график со своей кривой, уравнение (1) определяет семейство кривых. Людмила Фирмаль

Это уравнение связывает x, y, y любой кривой в семействе, определяемом уравнением (1). Уравнение (3) называется дифференциальным уравнением для группы кривых (1). Все функции семейства (1) удовлетворяют этому уравнению. Это следует понимать следующим образом: если вы получаете уравнение произвольной функции из семейства (1) и находите дифференциальное уравнение и уравнение перестановки (3) из Y, это выглядит так: тождественность y ‘-2Cx, 2 = Рассматривая дифференциальное уравнение (3), можно найти некоторые свойства всех кривых семейства (1). Например, в первой четверти x k, y положительно.

Поэтому экспресс 2 Ху х * + \ В первом квартале Производная всегда положительна, потому что она всегда больше нуля. Исходя из этого, можно сделать вывод, что все характеристики рассматриваемой семьи возрастут в первом квартале. Поэтому, рассматривая семейные дифференциальные уравнения, мы смогли сделать выводы сразу для всего семейства, а не для одной кривой. Теперь рассмотрим уравнение Nie

• y = Cl cos x + C2 sin x, Где Cx и C2 — произвольные постоянные или параметры. Например, использование значений Cl = 1 и C2 = 0 дает y = cosx. Эта кривая показана на рисунке. 109. Если Cx-0, C2 = 1, то> y = sin l: получается. Эта кривая также показана на рисунке. 109. В целом, для каждой пары значений C и Cg получается конкретная кривая (на рисунке 109 показано (4)

Связанные Cx = 1 и C2 = 0; Cr = 0 и C2 = 1; Ct = 1 и C2 = 1). Уравнение (4) определяет семейство функций, которые зависят от двух произвольных констант (или двух параметров), где каждая функция

Поскольку он соответствует кривой, можно сказать, что уравнение (4) определяет семейство кривых. Людмила Фирмаль

Найти первую и вторую производные функции, определенной уравнением (4). y ‘= -Cr sin x + C2 cos jc, (5) y «= -C, cos x-C2 sin x. (6) Исключить параметры C и Cg из уравнений (4), (5) и (6) [В этом примере добавление уравнений (4) и (6) является самым простым способом удаления C и Cg] , После исключения y «+ y = 0. (7)

Уравнение (7) является дифференциальным уравнением для семейства (4). Из уравнения (7) видно, что V = -y. Это указывает на то, что вторая производная отрицательна для первого и второго квартала, то есть y> 0. Если y «<Z 0 (см. Главу VIII), кривая является выпуклой. Поэтому, учитывая дифференциальное уравнение, все кривые в семействе являются выпуклыми, если они находятся выше оси Ox и больше оси Ox Если он ниже, он вогнутый. В приведенном выше примере показана связь между дифференциальными уравнениями и кривыми.

Смотрите также:

Предмет высшая математика

Линии уровня	Основные определения
Частные производные	Дифференциальные уравнения первого порядка