Для связи в whatsapp +905441085890

Схемы применения определенного интеграла

Схемы применения определенного интеграла

Пусть требуется найти значение какой-либо геометрической или физической величины Схемы применения определенного интеграла (площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину и т. д.), связанной с отрезком Схемы применения определенного интеграла изменения независимой переменной Схемы применения определенного интеграла. Предполагается, что эта величина Схемы применения определенного интеграла аддитивна, т. е. такая, что при разбиении отрезка Схемы применения определенного интеграла точкой Схемы применения определенного интеграла на части Схемы применения определенного интеграла и Схемы применения определенного интеграла значение величины Схемы применения определенного интеграла, соответствующее всему отрезку Схемы применения определенного интеграла, равно сумме ее значений, соответствующих Схемы применения определенного интеграла и Схемы применения определенного интеграла.

Для нахождения этой величины Схемы применения определенного интеграла можно руководствоваться одной из двух схем: I схема (или метод интегральных сумм) и II схема (или метод дифференциала).

Первая схема базируется на определении определенного интеграла.

1. Точками Схемы применения определенного интеграла разбить отрезок Схемы применения определенного интеграла на Схемы применения определенного интеграла частей. В соответствии с этим, интересующая нас величина Схемы применения определенного интеграла разобьется на Схемы применения определенного интеграла «элементарных слагаемых» Схемы применения определенного интеграла Схемы применения определенного интеграла.

2. Представить каждое «элементарное слагаемое» в виде произведения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычисленной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину: Схемы применения определенного интеграла.

При нахождении приближенного значения Схемы применения определенного интеграла допустимы некоторые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно приближенно считать постоянной и т. д.

Получим приближенное значение величины Схемы применения определенного интеграла в виде интегральной суммы:

Схемы применения определенного интеграла

3. Искомая величина Схемы применения определенного интеграла равна пределу интегральной суммы, т. е.

Схемы применения определенного интеграла

Указанный «метод сумм», как видим, основан на представлении интеграла как о сумме бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых.

Схема I была применена для выяснения геометрического и физического смысла определенного интеграла.

Вторая схема представляет собой несколько видоизмененную схему I и называется «метод дифференциала» или «метод отбрасывания бесконечно малых высших порядков»:

1) на отрезке Схемы применения определенного интеграла выбираем произвольное значение Схемы применения определенного интеграла и рассматриваем переменный отрезок Схемы применения определенного интеграла. На этом отрезке величина Схемы применения определенного интеграла становится функцией Схемы применения определенного интеграла: Схемы применения определенного интеграла, т. е. считаем, что часть искомой величины Схемы применения определенного интеграла есть неизвестная функция Схемы применения определенного интеграла, где Схемы применения определенного интеграла — один из параметров величины Схемы применения определенного интеграла;

2) находим главную часть приращения Схемы применения определенного интеграла при изменении Схемы применения определенного интеграла на малую величину Схемы применения определенного интеграла, т. е. находим дифференциал Схемы применения определенного интеграла функции Схемы применения определенного интеграла : Схемы применения определенного интеграла, где Схемы применения определенного интеграла, определяемая из условия задачи, функция переменной Схемы применения определенного интеграла (здесь также возможны различные упрощения);

3) считая, что Схемы применения определенного интеграла при Схемы применения определенного интеграла, находим искомую величину путем интегрирования Схемы применения определенного интеграла в пределах от Схемы применения определенного интеграла до Схемы применения определенного интеграла:

Схемы применения определенного интеграла

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования
Интеграл от разрывной функции
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление длины дуги плоской кривой