Оглавление:
Сходящиеся последовательности
Определение 2.8. Число 
называется пределом числовой последовательности 
, если для 
такой, что 
, т. е.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае — расходящейся.
Из (2.1) рассмотрим условие 
.
Последние неравенства означают, что при 
элемент последовательности 
должен находиться в интервале 
. Напомним, что данный интервал называется 
-окрестностыо точки .
Определение 2.8′. Число а называется пределом числовой последовательности 
, если для 
, начиная с которого все члены последовательности принадлежат -окрестности точки .
Геометрический смысл предела последовательности: 
, если вне любой в-окрестности точки а имеется лишь конечное число членов этой последовательности.
Пример 2.5.
Доказать, что 
.
Решение:
Согласно условию, требуется доказать, что число «1» является пределом последовательности 
, т. е. для 
нужно указать номер 
, начиная с которого для всех членов последовательности будет выполнено 
, т. е.
Из неравенства 
получаем 
. Таким образом, для 
, полагая 
, получаем, что для 
будет выполнено 
. Заметим, что величина 
представляет собой целую часть выражения 
, тогда 
.
Поэтому для выполнения условия 
при 
полагаем 
. ■
Теорема 2.2. Числовая последовательность 
имеет своим пределом число «а» тогда только тогда, когда
где 
— члены БМП 
.
Доказательство.
Необходимость. Пусть 
Обозначим 
. Получим 
.
Достаточность. Пусть 
, где 
— БМП. Тогда 
, т. е. 
. ■
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
