Для связи в whatsapp +905441085890

Сила тяжести и центр тяжести

Сила тяжести и центр тяжести

Материальная точка, отпущенная без начальной скорости вблизи поверхности Земли, совершает движение по отношению к Земле с некоторым ускорением, которое называют ускорением силы тяжести. Это ускорение, измеренное относительно вращающейся Земли, определяется притяжением к центру Земли и вращением Земли вокруг своей оси. Оно оказывается различным на различных широтах и зависит от расстояния точки от оси вращения Земли. Силу, действующую на материальную точку и равную произведению массы этой точки на ускорение силы тяжести, называют весом материальной точки. Направление силы тяжести отличается от направления к центру Земли и изменяется с изменением широты местности. Более детальное изучение силы тяжести будет проведено в динамике.

Рассмотрим систему материальных точек Сила тяжести и центр тяжести каждая из которых имеет массу Сила тяжести и центр тяжести Обозначим координаты точки Сила тяжести и центр тяжести через Сила тяжести и центр тяжестиПредположим, что на каждую материальную точку действует сила тяжести. Ограничиваясь только случаем, когда размеры тел достаточно малы, будем предполагать, что силы тяжести Сила тяжести и центр тяжести всех точек параллельны одному направлению. Очевидно, что если повернуть всю систему на определенный угол, сохраняя взаимное расположение точек, то сами векторы Сила тяжести и центр тяжести не изменят своих величин, а изменят лишь направление по отношению к самой системе материальных точек. Векторы Сила тяжести и центр тяжести в рассматриваемом случае приложены к определенным точкам системы, и следовательно, являются связанными векторами. В теории векторов было показано, что для такой системы векторов существует точка Сила тяжести и центр тяжести координаты которой не зависят от направления векторов и даются уравнениями:

Сила тяжести и центр тяжести

Определенная так точка S называется центром тяжести системы. Она найдена из условия о том, что сумма моментов сил тяжести относительно точки 5 равна нулю. Такая точка будет существовать, поскольку всякая система параллельных сил, направленных в одну сторону, приводится к равнодействующей силе. Аналитически это условие запишется в виде

Сила тяжести и центр тяжести

где Сила тяжести и центр тяжести — направляющие косинусы линии действии силы тяжести относительно выбранных осей координат. Выписанное векторное соотношение эквивалентно трем скалярным уравнениям

Сила тяжести и центр тяжести

которые можно переписать в виде

Сила тяжести и центр тяжести

Сила тяжести и центр тяжести

где Сила тяжести и центр тяжести Полученные из этих уравнений координаты Сила тяжести и центр тяжестиопределяют произвольную точку, лежащую на линии действия равнодействующей. Положение равнодействующей зависит от направления силы тяжести относительно выбранных осей. Уравнения не будут зависеть от выбора направляющих косинусов Сила тяжести и центр тяжести если координаты Сила тяжести и центр тяжести удовлетворяют условиям (1), т. е. являются координатами центра тяжести системы. Если систему осей жестко связать с материальными точками, то при изменении положения системы координаты отдельных ее частиц не изменятся, и мы получим способ вычисления координат центра тяжести.

Полученные формулы для координат центра тяжести системы материальных точек не могут быть непосредственно применены к определению центра тяжести сплошных материальных тел. Определение координат центра тяжести в этом случае можно свести к вычислению интегралов.

Действительно, рассмотрим некоторую точку тела, координаты которой обозначим через Сила тяжести и центр тяжести и выделим из тела элементарный объем Сила тяжести и центр тяжести содержащий эту точку. Будем предполагать, что когда объем стягивается к точке, средняя плотность Сила тяжести и центр тяжести этого элемента стремится к определенному пределу р, не зависящему от выбора элементарного объема и от способа его стремления к нулю. Величина р представляет собой некоторую функцию от Сила тяжести и центр тяжести которая по своему физическому смыслу однозначна и которую назовем плотностью в точке.

Разделим теперь объем, занимаемый телом, на бесконечно малые элементы Сила тяжести и центр тяжести Масса элемента объема равна Сила тяжести и центр тяжести Сила тяжести, действующая на элемент Сила тяжести и центр тяжести может быть представлена в виде

Сила тяжести и центр тяжести

а проекции этой силы на оси координат

Сила тяжести и центр тяжести

Координаты центра тяжести получат вид

Сила тяжести и центр тяжести

Эта лекция взята со страницы, где размещены все лекции по предмету теоретическая механика:

Предмет теоретическая механика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Частные случаи равновесия твердого тела
Задача о равновесии при наличии трения
Работа силы на перемещении
Сила тяжести