Оглавление:
Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами
Рассмотрим еще один метод интегрирования нормальной системы уравнений (52.1) в случае, когда она представляет собой систему линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами, т. е. систему вида
Для простоты ограничимся рассмотрением системы трех уравнений с тремя неизвестными функциями и :
где все коэффициенты — постоянные.
Будем искать частное решение системы (52.6) в виде
где — постоянные, которые надо подобрать (найти) так, чтобы функции (52.7) удовлетворяли системе (52.6).
Подставив эти функции в систему (52.6) и сократив на множитель , получим:
или
Систему (52.8) можно рассматривать как однородную систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными . Чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю:
Уравнение (52.9) называется характеристическим уравнением системы (52.6). Раскрыв определитель, получим уравнение третьей степени относительно . Рассмотрим возможные случаи.
Случай 1. Корни характеристического уравнения действительны и различны: . Для каждого корня напишем систему (52.8) и определим коэффициенты (один из коэффициентов можно считать равным единице). Таким образом, получаем:
- для корня частное решение системы (52.6): ;
- для корня
- для корня .
Можно показать, что эти функции образуют фундаментальную систему, общее решение системы (52.6) записывается в виде
Пример №52.3.
Решить систему уравнений:
Решение:
Характеристическое уравнение (52.9) данной системы имеет вид
или . Частные решения данной системы ищем в виде , и , . Найдем и .
При система (52.8) имеет вид
Эта система имеет бесчисленное множество решений. Положим , тогда . Получаем частные решения
При система (52.8) имеет вид
Положим , тогда . Значит, корню соответствуют частные решения:
Общее решение исходной системы, согласно формуле (52.10), запишется в виде: .
Случай 2. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные: . Вид частных решений в этой ситуации определяют так же, как и в случае 1.
Замечание. Вместо полученных частных решений можно взять их линейные комбинации (п. 50.1, случай 3), применяя формулы Эйлера; в результате получим два действительных решения, содержащих функции вида . Или, выделяя действительные и мнимые части в найденных комплексных частных решениях, получим два действительных частных решения (можно показать, что они тоже являются решениями уравнения). При этом понятно, что комплексно-сопряженный корень не даст новых линейно независимых действительных решений.
Пример №52.4.
Найти частное решение системы
удовлетворяющее начальным условиям: .
Решение:
Составляем и решаем характеристическое уравнение:
Для получаем:
(см. (52.8)). Отсюда находим: (положили), . Частное решение системы: .
Для получаем (см. (52.8)):
Отсюда находим: (положили), . Частное комплексное решение системы:
В найденных решениях выделим действительную и мнимую части:
Как уже отмечено, корень приведет к этим же самым решениям.
Таким образом, общее решение системы имеет вид
Выделим частное решение системы. При заданных начальных условиях получаем систему уравнений для определения постоянных :
Следовательно, искомое частное решение имеет вид
Случай 3. Характеристическое уравнение имеет корень кратности . Решение системы, соответствующее кратному корню, следует искать в виде:
а) если , то
б) если , то
Это решение зависит от произвольных постоянных. Постоянные определяются методом неопределенных коэффициентов. Выразив все коэффициенты через из них, полагаем поочередно один из них равным единице, а остальные равными нулю. Получим линейно независимых частных решений системы (52.6).
Пример №52.5.
Решить систему уравнений:
Решение:
Составляем и решаем характеристическое уравнение
. Корню соответствует система (см. (52.8)):
Полагая , находим . Получаем одно частное решение исходной системы: .
Двукратному корню () соответствует решение вида , , . Подставляем эти выражения (решения) в уравнения исходной системы:
или, после сокращения на и группировки,
Эти равенства тождественно выполняются лишь в случае, когда
Выразим все коэффициенты через два из них (), например через и . Из второго уравнения имеем . Тогда, с учетом первого уравнения, получаем . Из четвертого уравнения находим , т. е. . Из третьего уравнения: , т. е. , или . Коэффициенты и — произвольные.
Полагая , находим: .
Полагая , находим: .
Получаем два линейно независимых частных решения, соответствующих двукратному корню :
Записываем общее решение исходной системы:
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны: