Оглавление:
Системы линейных однородных уравнений
Пусть дана система линейных однородных уравнений
Очевидно, что однородная система всегда совместна 
, она имеет нулевое (тривиальное) решение 
.
При каких условиях однородная система имеет и ненулевые решения?
Теорема 4.4. Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг 
ее основной матрицы был меньше числа 
неизвестных, т. е. 
.
Необходимость.
Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевидно, 
. Пусть 
. Тогда один из миноров размера 
отличен от нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет единственное решение: 
. Значит, других, кроме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение, то .
Достаточность.
Пусть . Тогда однородная система, будучи совместной, является неопределенной. Значит, она имеет бесчисленное множество решений, т. е. имеет и ненулевые решения.
Пусть дана однородная система линейных уравнений с неизвестными
Теорема 4.5. Для того, чтобы однородная система линейных уравнений с неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель 
был равен нулю, т. е. 
.
Если система имеет ненулевые решения, то . Ибо при 
система имеет только единственное, нулевое решение. Если же , то ранг основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т. е. . И, значит, система имеет бесконечное множество (ненулевых) решений.
Пример №4.6.
Решить систему
Решение:
Так как , то система имеет бесчисленное множество решений. Найдем их
. Стало быть, 
— общее решение.
Положив 
, получаем одно частное решение: 
. Положив 
, получаем второе частное решение: 
, 
, и т. д.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Действия над матрицами |
| Элементарные преобразования матриц |
| Линейные операции над векторами |
| Проекция вектора на ось |
