Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения

Рассмотрим систему неравенств

Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения

Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения

предполагая, что Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения Тогда неравенству (1) удовлетворяют точки множества Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения, лежащие по одну сторону от прямой Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения, заданной уравнением

Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения

Аналогично, множество Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения— одна из полуплоскостей, на которые разбивается координатная плоскость прямой Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения, заданной уравнением

Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения

Множество решений системы (1), (2) представляет собой пересечение множеств Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решенияи Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения.

Примеры с решениями

Пример №315.

Решить систему неравенств

Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения

Решение:

Построим прямые Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения и Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения (рис. 26.8), заданные соответственно уравнениями

Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения

Решив систему (5), (6), получим Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решенияСледовательно, прямыеСистемы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения и Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения пересекаются в точке Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решенияТак как координаты точки Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения не удовлетворяют ни одному из неравенств (3), (4), то системе неравенств (3), (4) удовлетворяют координаты тех и только тех точек координатной плоскости, которые лежат ниже прямой Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения и выше прямой Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения, т. е. точки угла Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения с вершиной Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения, заштрихованного на рис. 26.8. Аналогично решаются системы неравенств, получаемые из системы (1), (2) заменой одного или двух знаков неравенств на противоположные.

Если пересекающиеся в точке Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения прямыеСистемы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения и Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения (рис. 26.9) задаются соответственно уравнениями

Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения

и

Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения

то неравенство

Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения

определяет либо объединение одной парыСистемы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения и Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения вертикальных углов с вершиной Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения (рис. 26.9), либо объединение другой пары Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решенияиСистемы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения вертикальных углов с той же вершиной.

Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения

В самом деле, во всех точках каждого из множеств Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения левая часть неравенства (7) принимает либо положительные, либо отрицательные значения, а при переходе от одного из этих множеств к соседним (через одну из прямых Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения) знак левой части этого неравенства меняется на противоположный.

Если, например, на множестве Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения левая часть неравенства (7) положительна, то на множествах Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения и Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения она будет отрицательной, а на Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения — положительной.

Чтобы определить, на каком из двух множеств Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения или Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения справедливо неравенство (7), достаточно определить знак левой части этого неравенства в какой-либо точке одного из множеств Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения

Пример №316.

Решить неравенство

Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения

Решение:

Неравенство (8) равносильно совокупности систем неравенств

Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения

Множеством решений системы (9), равносильной системе (3), (4), является угол с вершиной Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения (заштрихованный на рис. 26.8), а множеством решений системы (10) — угол Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения с той же вершиной Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения, содержащий точку Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения. Объединение этих углов представляет собой множество всех решений неравенства (8).

Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения

Пример №317.

Решить систему неравенств

Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения

Решение:

Второе неравенство этой системы равносильно неравенствуСистемы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения и поэтому исходная система равносильна следующей:

Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения

Если бы пара чисел Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения была решением этой системы, то число Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения удовлетворяло бы двум условиям Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решенияи Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения что невозможно. Следовательно, исходная система неравенств не имеет решений.

Пример №318.

Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих системе неравенств

Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения

Решение:

Первым двум неравенствам системы (11) удовлетворяют все точки, у которых обе координаты неотрицательны, т. е. точки, лежащие в I квадранте (включая точки положительных полуосей Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения и Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения).

Чтобы решить неравенство Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решениярассмотрим прямую Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения (рис. 26.10).

Эта прямая проходит через точки Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения и Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения. При Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения, Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решениянеравенство Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения является верным. Следовательно, неравенству Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения удовлетворяют все точки, лежащие ниже прямой Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения и на самой прямой. В результате получаем, что первым трем неравенствам системы (11) удовлетворяют точки, расположенные внутри и на границе треугольника с вершинами Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения

Решим, наконец, последнее неравенство системы (11), т. е. неравенство Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения Рассмотрим прямую Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решенияПолагая Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения находим Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения Таким образом, прямая проходит через точку Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения

Найдем точку Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения пересечения прямой Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения с прямой Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения Для этого решим систему уравнений

Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения

Складывая уравнения системы (12), получаем Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения, откуда Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения Подставляя Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения в первое уравнение системы (12), находим Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения. Значит, точка Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения имеет координаты Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения (рис. 26.10).

Так как неравенству Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решенияудовлетворяют точки, лежащие ниже прямой Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения(точка Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решенияудовлетворяет этому неравенству), то системе (11) удовлетворяют все точки, лежащие внутри и на границе четырехугольника Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения (рис. 26.10).

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения
Пример решения линейных неравенств с двумя переменными
Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля
Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными