Для связи в whatsapp +905441085890

Системы уравнений используемых в эконометрике

Системы уравнений используемых в эконометрике

В предыдущих параграфах рассмотрено моделирование экономических взаимосвязей одним уравнением. Однако, некоторые экономические процессы моделируется не одним, а несколькими уравнениями, содержащие как повторяющиеся, так и собственные переменные, описывающие многосторонние реальные взаимоотношения между экономическими показателями. В одних уравнениях определенная переменная рассматривается как факторный признак, а в другое уравнение эта переменная входит как результативный признак. Поскольку отдельные уравнения системы не могут рассматриваться изолированно друг от друга, то и деление переменных на зависимую и независимые теряет смысл. При рассмотрении систем эконометрических уравнений различают следующие переменные:

эндогенные — это переменные, являющиеся экономическими факторами, которые описываются уравнениями модели, их значения зависят от внутренней структуры моделируемого экономического процесса;

экзогенные, являющимися внешними наперед заданными экономическими величинами независимо от структуры модели, т. е. они задаются извне и объясняются экономическими факторами и закономерностями, находящимися за границами модели. Экзогенные переменные определяют эндогенные, но не находятся под их влиянием, т.е. между ними существуют только односторонние стохастические связи.

  • предопределенные — переменные, значения которых отстают на один или несколько периодов, т.е. лаговые переменные. Лаговыми переменными могут быть: а) обычные экзогенные переменные, так как они определяются вне модели; б) лаговые экзогенные переменные, так как их значения принадлежат предшествующим периодам и определяются вне модели; в) лаговые эндогенные переменные, так как они определяются из предшествующей модели. Лаговые переменные можно отнести к заранее заданным экзогенным.
  • совместно — зависимые переменные — это эндогенные переменные, которые определяются моделью, так как между ними существуют многосторонние связи, и они определяются не одним уравнением, а системой уравнений;
  • возмущающие, или латентные переменные — это экономические факторы, не входящие в уравнения системы, но оказывающие влияние на совместно зависимые переменные, которые формируются за счет случайных влияний и ошибок, допущенных при построении модели.

Эконометрическая модель может быть представлена системами различных видов в зависимости от цели и задач исследования.

Структурная модель, записанная в матричном виде:

Системы уравнений используемых в эконометрике

где Системы уравнений используемых в эконометрике и Системы уравнений используемых в эконометрике прямоугольные матрицы, а Системы уравнений используемых в эконометрике — матрицы — столбцы:

Системы уравнений используемых в эконометрике

Структурная форма модели содержит всю существенную информацию об односторонних и многосторонних стохастических отношениях между экономическими факторами. Уравнения, составляющие эту модель, называются структурными уравнениями.

Если в структурной модели матрица Системы уравнений используемых в эконометрике имеет треугольный вид:

Системы уравнений используемых в эконометрике

то соответствующая модель называется рекурсивной моделью. Структурная модель, записанная в виде:

Системы уравнений используемых в эконометрике

где Системы уравнений используемых в эконометрике — обратная матрица для матрицы Системы уравнений используемых в эконометрике, называется приведенной формой модели. В приведенной форме модели совместно зависимые переменные являются линейными функциями от предопределенных и возмущающих переменных.

Если модель состоит только из уравнений, в каждом из которых только одна эндогенная переменная выражается через экзогенные переменные, то она называется системой независимых уравнений. Рассмотрим примеры некоторых моделей. 1. Модель «Спрос — предложение».

Система одновременных уравнений используется при моделировании спроса — предложения в рыночных условиях. Предполагая, что спрос Системы уравнений используемых в эконометрике и предложение Системы уравнений используемых в эконометрике в любой момент времени Системы уравнений используемых в эконометрике являются линейными функциями, получаем следующую систему:

Системы уравнений используемых в эконометрике

Уравнение (6.1) определяет функцию спроса, (6.2) — функцию предложения, (6.3) — условие равновесия. Наличие в уравнениях случайных отклонений Системы уравнений используемых в эконометрике и Системы уравнений используемых в эконометрике, связано с отсутствием ряда важных факторных признаков: дохода, цен сопутствующих товаров, налогов, цен на ресурсы и т. п. Модель (6.1) — (6.3) может быть усовершенствована введением новых факторных признаков. В данной модели «спрос — предложение», переменные спроса Системы уравнений используемых в эконометрике предложения Системы уравнений используемых в эконометрике и цена Системы уравнений используемых в эконометрике — эндогенные, так как определяются из решения модели. 2. Кейнсианская модель формирования доходов.

Простейшая кейнсианская модель формирования доходов в предположении, что рассматривается закрытая экономика без государственных расходов, описывается системой одновременных уравнений вида:

Системы уравнений используемых в эконометрике

Уравнение (6.4) описывает функцию потребления. (6.5) макроэкономическое тождество. Переменные Системы уравнений используемых в эконометрике — значения совокупного выпуска (ВНП) Системы уравнений используемых в эконометрике объема потребления Системы уравнений используемых в эконометрике и инвестиций Системы уравнений используемых в эконометрике в момент времени Системы уравнений используемых в эконометрике соответственно.

В кейнсианской модели формирования доходов, переменные Системы уравнений используемых в эконометрике и Системы уравнений используемых в эконометрике — эндогенные, а переменная Системы уравнений используемых в эконометрике — экзогенная, поскольку определяется вне модели, и считается заранее заданной. Если подставить Системы уравнений используемых в эконометрике из (6.5) в (6.4), то обе переменные Системы уравнений используемых в эконометрике и Системы уравнений используемых в эконометрике можно выразить через экзогенную переменную Системы уравнений используемых в эконометрике:

Системы уравнений используемых в эконометрике

Коэффициент Системы уравнений используемых в эконометрике в (6.7) называется денежным мультипликатором, определяющим, на какую величину увеличивается совокупный доход при увеличении объема инвестиций на единицу, а коэффициент Системы уравнений используемых в эконометрике мультипликатором потребления, определяющим величину увеличения потребления при увеличении объема инвестиций на единицу.

  • Модель IS-LM.
    Простейшая модель равновесия на рынке товаров описывается системой одновременных уравнений вида:

Функция потребления: Системы уравнений используемых в эконометрике

Функция налогов: Системы уравнений используемых в эконометрике

Функция инвестиций: Системы уравнений используемых в эконометрике

Располагаемый доход: Системы уравнений используемых в эконометрике

Государственные расходы: Системы уравнений используемых в эконометрике

Макроэкономическое тождество: Системы уравнений используемых в эконометрике

Переменные Системы уравнений используемых в эконометрике в модели, описывают значения в момент времени Системы уравнений используемых в эконометрике национального дохода Системы уравнений используемых в эконометрике, потребления Системы уравнений используемых в эконометрике, желаемого объема чистых инвестиций Системы уравнений используемых в эконометрике, государственных расходов Системы уравнений используемых в эконометрике (в данной модели расходы постоянные величины Системы уравнений используемых в эконометрике), объема налогов Системы уравнений используемых в эконометрике, располагаемого дохода Системы уравнений используемых в эконометрике процентной ставки Системы уравнений используемых в эконометрике. Подставим (6.9) в (6.11) и полученный результат в (6.8). После упрощения, результат и (6.10), (6.12) подставим в (6.13). В результате получим уравнение кривой IS:

Системы уравнений используемых в эконометрике

где

Системы уравнений используемых в эконометрике

определяющей соотношение между процентной ставкой и уровнем дохода, при котором рынок товаров находится в равновесии.

Линия равновесия на рынке денег (линия LM) определяет такое соотношение между процентной ставкой и уровнем дохода, при котором спрос на деньги равен их предложению. Одна из форм модели определяется следующей системой одновременных уравнений:

Функция спроса на деньги: Системы уравнений используемых в эконометрике

Функция предложения денег: Системы уравнений используемых в эконометрике

Условие равновесия: Системы уравнений используемых в эконометрике

Разрешив (6.14) относительно уг и воспользовавшись (6.15), (6.16), получим уравнение линии LM:

Системы уравнений используемых в эконометрике

Точка пересечения кривых IS и LM определяет соотношение между процентной ставкой и уровнем дохода, при котором оба рынка находятся в состоянии равновесия. Эта точка находится из решения системы уравнений:

Системы уравнений используемых в эконометрике

Структурные уравнения модели можно подразделить на поведенческие уравнения и уравнения — тождества. В поведенческих уравнениях описываются зависимости между переменными, а в уравнениях — тождествах соотношения, которые должны выполняться во всех случаях. Тождества не содержат подлежащие оценке параметры и случайные составляющие.

Уравнения, в которых эндогенные переменные выражены только через экзогенные или предопределенные переменные, а также случайные составляющие, называются приведенными уравнениями (уравнениями в приведенной форме). Предопределенными переменными называются лаговые эндогенные переменные, значения которых определены до рассмотрения уравнений. Например, уравнение спроса в модели «спрос — предложение» может быть представлено в виде:

Системы уравнений используемых в эконометрике

где переменная Системы уравнений используемых в эконометрике, характеризующая цену товара в предыдущий момент времени, является предопределенной переменной.

Эта лекция взята со страницы предмета «Эконометрика»

Предмет эконометрика: полный курс лекций

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Регрессионные модели с количественными и качественными переменными
Модели с фиктивными результативными признаками
Проблема идентифицируемости модели. Необходимое и достаточное условие идентифицируемости
Методы оценивания параметров структурной модели. Косвенный метод наименьших квадратов. Двухшаговый метод наименьших квадратов