Для связи в whatsapp +905441085890

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними:

Скалярное произведение векторов

Свойства скалярного произведения

1. При перестановке сомножителей произведение не изменится: Скалярное произведение векторов. Это объясняется тем, что при перестановке скалярных множителей произведение не меняется Скалярное произведение векторов, а также тем, что косинус — функция чётная: Скалярное произведение векторов.

2. Скалярный сомножитель (число Скалярное произведение векторов) можно вынести за знак произведения: Скалярное произведение векторов. Это свойство — следствие свойства операции умножения вектора на число.

3. Скалярное произведение равно нулю, если хотя бы один из векторов нулевой или векторы перпендикулярны (так как Скалярное произведение векторов).

4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: Скалярное произведение векторов (следует из того, что Скалярное произведение векторов).

5. Скалярное произведение обладает распределительным свойством: Скалярное произведение векторов.

Пусть векторы Скалярное произведение векторов, Скалярное произведение векторов заданы своими координатами: Скалярное произведение векторов, Скалярное произведение векторов. В силу свойств 2, 3, 4, 5 произведение Скалярное произведение векторов можно вычислить как произведение многочлена на многочлен. С учетом того, что Скалярное произведение векторов Скалярное произведение векторов, скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат:

Скалярное произведение векторов

Из свойства 3 и формулы (2.7) следует условие перпендикулярности двух векторов:

Скалярное произведение векторов

Из формулы (2.6) следует формула для определения угла между векторами (с учетом формул (2.7) и (2.2)):

Скалярное произведение векторов

Физическое приложение скалярного произведения

Если материальная точка, на которую действует сила Скалярное произведение векторов двигается по вектору Скалярное произведение векторов, то работа Скалярное произведение векторов силы Скалярное произведение векторов по перемещению точки по направленному отрезку Скалярное произведение векторов равна скалярному произведению

Скалярное произведение векторов

Пример выполнения задания

Пример:

Вычислить работу силы Скалярное произведение векторов(2,3,5) при перемещении материальной точки из положения Скалярное произведение векторов(-2,0,-3) в положение Скалярное произведение векторов(1,4,-2). (Предполагаются согласованные единицы силы и перемещения).

Решение:

Найдём координаты вектора Скалярное произведение векторов как разность координат точки конца вектора и точки начала:

Скалярное произведение векторов

Работу вычисляем по формуле (2.10): Скалярное произведение векторов

Ответ: Скалярное произведение векторов = 23 (единиц работы).

Эта лекция взята с этой страницы, там вы найдёте все темы лекций по высшей математике для студентов 1 курса:

Высшая математика для 1 курса

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Векторы. Линейные операции над векторами
Разложение вектора по базису: определение и пример с решением
Векторное произведение векторов: определение и пример с решением
Смешанное произведение трёх векторов: определение и пример с решением