Скорость и ускорение точки в полярных координатах

Скорость и ускорение точки в полярных координатах

Пусть точка совершает движение в плоскости При помощи формул преобразования перейдем от декартовых координат к полярным координатам

При движении точки М величины будут некоторыми функциями времени. Тогда проекции скорости на декартовы оси координат получим из соотношений

Введем два ортогональных направления: направление из начала
координат на движущуюся точку — радиальное и перпендикулярное к нему направление в сторону возрастания угла трансверсальное направление. Легко подсчитать проекции
вектора скорости

после подстановки сюда значений будем иметь

т.е.

Эти проекции называют радиальной и трансверсальной составляющими скорости точки. Рассмотрим проекции ускорения точки на оси декартовой системы координат

Проектируя ускорение точки на радиальное и трансверсальное направления, получим

т. е.

Эти проекции называются радиальной и трансверсальной составляющими ускорения. Как нетрудно заметить, эти составляющие не являются непосредственными производными от радиальной и трансверсальной составляющих скорости точки.

Пример:

Определить траекторию, скорость и ускорение точки,
движение которой в плоскости задано в полярных координатах:

Решение:

Исключив время, найдем траекторию точки (архимедова спираль), а затем определим скорость

и ускорение

Эта лекция взята со страницы, где размещены все лекции по предмету теоретическая механика:

Предмет теоретическая механика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Кинематика точки

Ускорение точки

Движение точки по окружности

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника