Сложение вращений тела вокруг двух осей
На рис. 11.1 изображено тело, которое совершает сложное движение -вращение вокруг оси, которая сама вращается вокруг другой, неподвижной оси. Естественно, первое вращение следует назвать относительным движением тела, второе — переносным, а соответствующие оси обозначить 
и 
.
Абсолютным движением будет вращение вокруг точки пересечения осей 
. (Если тело имеет больший размер, то его точка, совпадающая с , все время будет неподвижной). Угловые скорости переносного вращения и относительного вращения изображаются векторами 
, и 
отложенными из неподвижной точки , точки пересечения осей, по соответствующим осям.
Найдем абсолютную скорость какой-нибудь точки 
тела, положение которой определяется радиусом-вектором 
(рис 11.1).
Как известно, она складывается из двух скоростей: относительной и переносной (10.5) 
. Но относительное движение тела (используя правило остановки в разд.Х,§1) есть вращение с угловой скоростью вокруг оси 
, а положение точки при этом определяется радиусом-вектором . Поэтому по (9.1)
Переносное движение тела в данный момент времени, опять используя правило остановки, тоже есть вращение, но вокруг оси 
с угловой скоростью , и положение точки опять будет определяться тем же радиусом-вектором . Поэтому и переносная скорость
Абсолютная же скорость, скорость при вращении вокруг неподвижной точки , при сферическом движении определяется аналогично (по формуле 9.3)
где 
— абсолютная угловая скорость, направленная по мгновенной оси вращения 
.
По формуле сложения скоростей получим
или
Отсюда
То есть мгновенная угловая скорость, угловая скорость абсолютного движения есть векторная сумма угловых скоростей переносного и относительного движений. А мгновенная ось вращения , направленная по вектору , совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и (см. рис 11.1).
Частные случаи:
- Оси вращения и параллельны, направления вращений одинаковы (рис 11.2).
Так как векторы и параллельны и направлены в одну сторону, то абсолютная угловая скорость по величине равна сумме их модулей
и вектор ее направлен в ту же сторону. Мгновенная ось вращения делит расстояние между осями на части, обратно пропорциональные 
и 
:
(аналогично равнодействующей параллельных сил).
В этом частном случае тело 
совершает плоскопараллельное движение. Мгновенный центр скоростей 
находится на оси .
- Оси вращения параллельны, направления вращений противоположны (рис. 11.3).
В этому случае 
(при 
). Мгновенная ось вращения и мгновенный центр скоростей находятся за вектором большей угловой скорости на расстояниях таких, что 
(опять по аналогии определения положения равнодействующей параллельных сил).
- Оси вращения параллельны, направления вращений противоположны и угловые скорости равны
Угловая скорость абсолютного движения будет равна нулю и, следовательно, тело совершает поступательное движение. Этот случай называется парой вращений по аналогии с парой сил.
Эта теория взята со страницы помощи с решением заданий по теоретической механики, там найдёте другие лекции и примеры решения задач или сможете заказать онлайн помощь:
Помощь по теоретической механике
Кстати возможно вам будут полезны эти страницы:
| Определение абсолютной скорости точки |
| Определение абсолютного ускорения точки |
| Аксиомы динамики в теоретической механике |
| Динамика материальной точки |
