Случай, когда плоская система сил находится в равновесии

Случай, когда плоская система сил находится в равновесии. Условия равновесия

Любая система сил эквивалентна по своему действию на твердое тело совокупности одной силы плоская система сил находится в равновесии, равной главному вектору этой системы, и одной пары, момент которой равен главному моменту плоская система сил находится в равновесии системы относительно произвольно выбранного центра плоская система сил находится в равновесии приведения.

Следовательно, для равновесия системы сил, как угодно расположенных на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы и главный вектор, и главный момент этой системы относительно произвольно выбранного центра приведения равнялись нулю:

плоская система сил находится в равновесии

Из формул (8) и (24) для модуля главного вектора и главного момента плоской системы сил:

плоская система сил находится в равновесии

следует, что плоская система сил находится в равновесии и плоская система сил находится в равновесии обращаются в нуль в том случае, когда имеют место уравнения

плоская система сил находится в равновесии

Для равновесия плоской системы как угодно расположенных сил необходимо и достаточно, чтобы порознь равнялись нулю сумма проекций всех сил на каждую из двух любых координатных’ осей, лежащих в плоскости действия сил, и сумма алгебраических величин моментов всех сил относительно любой точки той же плоскости.

Нужно заметить, что вовсе не обязательно каждую задачу решать при помощи двух уравнений проекций и одного уравнения моментов. Уравнения равновесия плоской системы сил могут быть выражены и в иной форме, а именно:

  • Для равновесия системы сил, как угодно расположенных на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы порознь равнялись нулю суммы алгебраических величин моментов всех сил относительно каждой из трех, произвольно выбранных, но не лежащих на одной прямой точек плоскости действия сил («Теорема о трех моментах») :
плоская система сил находится в равновесии

Необходимость этих уравнений следует из того, что при равновесии системы равна нулю сумма моментов всех ее сил относительно любой точки плоскости.

Достаточность же этих трех уравнений для утверждения о равновесии плоской системы сил вытекает из следующих соображений. Система не может приводиться к паре, так как в этом случае главный момент системы относительно любой точки плоскости равен моменту пары и не может равняться нулю.

При наличии данных уравнении система не может приводиться и к равнодействующей. По теореме Вариньона, момент равнодействующей относительно любой точки равен сумме моментов составляющих сил относительно той же точки и, следовательно, если бы равнодействующая существовала, то се линия действия должна была бы проходить через точки плоская система сил находится в равновесии, плоская система сил находится в равновесии и плоская система сил находится в равновесии. Но они не лежат на одной прямой, и это невозможно.

  • Для равновесия системы сил, как угодно располо-женных на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы порознь равнялись нулю сумма проекций всех сил на одну какую-либо ось и суммы алгебраических величин моментов всех сил относительно двух любых точек плоскости, не лежащих на прямой перпендикулярной к выбранной оси проекций:
плоская система сил находится в равновесии

если ось плоская система сил находится в равновесии не перпендикулярна к прямой плоская система сил находится в равновесии.

Необходимость этих уравнений вытекает из того, что при равновесии системы равны нулю как сумма проекций всех сил на любую ось, так и суммы их моментов относительно любой точки. Достаточность же этих уравнений следует из того, что если бы равнодействующая существовала, то линия ее действия должна была бы проходить через точки плоская система сил находится в равновесии и плоская система сил находится в равновесии. Но в этом случае проекция равнодействующей плоская система сил находится в равновесии на ось плоская система сил находится в равновесии, не перпендикулярную к прямой плоская система сил находится в равновесии, не может равняться нулю.

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Теоретическая механика — задачи с решением и примерами

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Случай, когда плоская система сил приводится к одной паре + пример решения
Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей + пример с решением
Замечания к решению задач о равновесии плоской системы сил + пример с решением
Уравнения равновесия плоской системы параллельных сил + примеры с решением