Для связи в whatsapp +905441085890

Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей

Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

Пусть некоторая система сил приводится к какому-то главному вектору Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей, приложенному в произвольном центре Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей приведения, и к какой-то паре с положительным моментом Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей (рис. 53,а).

Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей

Преобразуем пару с моментом Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей так, чтобы силы, составляющие эту пару (обозначим их через Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей и Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей), оказались равными по модулю силе Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей. При этом нужно взять плечо Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей этой пары таким, чтобы ее момент оставался равным Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей. Тогда получим пару Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей, причем

Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей

а плечо пары

Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей

Воспользуемся тем, что пару как угодно можно переносить в ее плоскости. Перенесем пару Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей так, чтобы ее сила Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей оказалась приложенной в центре Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей приведения и направленной противоположно главному вектору Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей (рис. 53,6). При этом направление вращения пары должно остаться неизменным (для Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей оно должно быть противоположно направлению хода стрелки часов). Полученная плоская система сил эквивалентна силе Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей и паре Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей. Но силы Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей и Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей взаимно уравновешиваются, а потому остается одна сила Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей, являющаяся, следовательно, равнодействующей этой системы сил.

Если система сил, при приведении к некоторому центру Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей, приводилась бы к главному вектору Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей и к паре с отрицательным моментом Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей, то, повторяя аналогичные рассуждения, мы также пришли к одной равнодействующей (рис. 53,в и г). Благодаря тому, что пара Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей имеет в этом случае противоположное направление вращения (по ходу стрелки часов), равнодействующая Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей окажется проходящей по другую сторону от центра Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей приведения.

Как нетрудно видеть, в обоих случаях линия действия равнодействующей отстоит or центра Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей приведения на расстоянии

Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей

отложенном в такую сторону, чтобы знак момента равнодействующей относительно центра Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей приведения совпадал со знаком главного момента М0 (рис. 53).

Очевидно, если при приведении к какому-либо центру главный момент Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей системы сил относительно этого центра будет равен нулю, но главный вектор системы Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей будет отличен от нуля, то линия действия равнодействующей этой системы будет проходить через центр приведения.

Итак, если главный вектор данной плоской системы сил не равен нулю, то эта система приводится к равнодействующей, равной по модулю и направлению глав ному вектору.

При произвольном расположении сил на плоскости система может и не иметь равнодействующей, а приводится к паре. Но если только плоская система сил имеет равнодействующую, то эта равнодействующая во всех случаях равна по модулю и по направлению главному вектору Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей. При этом для сходящихся сил линия действия равнодействующей проходит через общую точку пересечения линий действия сил. Для сил же, расположенных как угодно на плоскости, положение линии действия равнодействующей определяется величиной и знаком главного момента.

Как это видно из рис. 53,6 и г и из предыдущих рассуждений, модуль момент равнодействующей Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей относительно произвольно выбранной точки

Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей

Знак же момента равнодействующей Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей относительно точки Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей также всегда совпадает (как это видно из сравнения рис. 53, о и б и рис. 53,с и г) со знаком главного момента Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей. Но главный момент Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей данной плоской системы сил относительно произвольно выбранного центра Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей приведения согласно (23) равен сумме алгебраических величин моментов составляющих сил относительно той же точки:

Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей

Отсюда следует:

Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей
Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей

Момент равнодействующей плоской системы сил относительно любой точки, лежащей в плоскости действия данных сил, равен сумме алгебраических величин моментов составляющих сил относительно той же точки.

Мы доказали теорему, носящую имя французского ученого П. Вариньона (1654—1722), для случая плоской системы сил. Она справедлива и для произвольной пространственной системы сил. Только у для произвольной системы сил момент равнодействующей относительно любой точки равен геометрической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Пример задачи:

Вдоль сторон квадрата Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей (рис. 54) действуют силы, равные по модулю Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей. Сторона квадрата Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей. Привести эту систему к точке Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей.

Решение:

Проведем координатные оси так, как показано на рис. 54. Спроектируем на эти оси силы и определим их моменты относительно центра Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей приведения. Найденные значения занесены в таблицу.

Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей

Проекции главного вектора

Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей

Модуль главного вектора

Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей

Направление главного вектора определится из формулы

Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей

Главный момент относительно центра Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей приведения

Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей

Так как Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей, а Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей, то система приводится к равнодействующей Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей, направленной по диагонали квадрата Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей и равной по модулю 283 кГ.

Тот же результат мы получили бы, если бы перенесли силы Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей и Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей в точку Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей пересечения их линий действия, а затем сложили бы по правилу параллелограмма эти силы и силы Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей и Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей приложенные в точке Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей. В результате мы получили бы две силы, направленные по одной прямой (диагонали квадрата Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей) в одну сторону, которые можно заменить равнодействующей, равной по модулю

Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей

Пример задачи:

На мостовую ферму (рис. 55) действуют вертикальные силы Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей и Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей, приложенные соответственно

Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей

на расстоянии 10 м и 40 м от левого конца фермы, и горизонтальная сила Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей, приложенная на уровне верхнего пояса фермы Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей. Высота фермы 6 м. Длина фермы Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей равна 50 м. Определить равнодействующую сил Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей и Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей.

Решение:

Примем точку Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей за центр приведения. Для вычисления главного вектора и главного момента проведем координатные оси Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей и Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей (так, как показано на рис. 55), спроектируем все силы на эти оси и возьмем их моменты относительно принятого центра Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей приведения.

Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей

Проекции главного вектора Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей на координатные оси равны

Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей

Отсюда находим модуль главного вектора

Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей

Так как главный вектор Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей не равен нулю, то система сил приводится к равнодействующей, равной по модулю и направлению главному вектору.

Направление равнодействующей определится из формулы:

Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей

откуда

Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей

Линия действия равнодействующей проходит от центра приведения на расстоянии

Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей

где Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей — главный момент данной системы сил относительно центра Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей приведения, равный

Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей

Знак момента показывает, что расстояние Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей должно быть отложено вправо от центра приведения (как показано на рис. 55).

В нашем случае расстояние

Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей

Зная расстояние Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей и угол Случай, когда плоская система сил приводится к равнодействующей, нетрудно при желании найти и точки пересечения линии действия равнодействующей с верхним и нижним поясами фермы.

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Теоретическая механика — задачи с решением и примерами

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Вычисление главного вектора и главного момента произвольной плоской системы сил
Случай, когда плоская система сил приводится к одной паре + пример решения
Случай, когда плоская система сил находится в равновесии
Замечания к решению задач о равновесии плоской системы сил + пример с решением