Для связи в whatsapp +905441085890

Способ неопределенных коэффициентов

Способ неопределенных коэффициентов

Этот способ приближенного решения наиболее удобен для интегрирования линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Пусть, например, требуется решить уравнение

Способ неопределенных коэффициентов

с начальными условиями Способ неопределенных коэффициентов.

Предполагая, что коэффициенты Способ неопределенных коэффициентов и свободный член Способ неопределенных коэффициентов разлагаются в ряды по степеням Способ неопределенных коэффициентов, сходящиеся в некотором интервале Способ неопределенных коэффициентов, искомое решение Способ неопределенных коэффициентов ищем в виде степенного ряда

Способ неопределенных коэффициентов

с неопределенными коэффициентами.

Коэффициенты Способ неопределенных коэффициентов и Способ неопределенных коэффициентов определяются при помощи начальных условий Способ неопределенных коэффициентов.

Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем ряд (65.6) два раза (каков порядок уравнения) и подставляем выражения для функции Способ неопределенных коэффициентов и ее производных в уравнение (65.5), заменив в нем Способ неопределенных коэффициентов их разложениями. В результате получаем тождество, из которого методом неопределенных коэффициентов находим недостающие коэффициенты. Построенный ряд (65.6) сходится в том же интервале Способ неопределенных коэффициентов и служит решением уравнения (65.5).

Пример №65.5.

Найти решение уравнения

Способ неопределенных коэффициентов

используя метод неопределенных коэффициентов.

Решение:

Разложим коэффициенты уравнения в степенные ряды:

Способ неопределенных коэффициентов

Ищем решение уравнения в виде ряда

Способ неопределенных коэффициентов

Тогда

Способ неопределенных коэффициентов

Из начальных условий находим: Способ неопределенных коэффициентов. Подставляем полученные ряды в дифференциальное уравнение:

Способ неопределенных коэффициентов

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях Способ неопределенных коэффициентов:

Способ неопределенных коэффициентов

Отсюда находим, что Способ неопределенных коэффициентов Способ неопределенных коэффициентов Таким образом, получаем решение уравнения в виде

Способ неопределенных коэффициентов

т. е. Способ неопределенных коэффициентов.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Приближенное решение дифференциальных уравнений
Способ последовательного дифференцирования
Тригонометрический ряд Фурье
Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций