Для связи в whatsapp +905441085890

Способы задания движения точки

Способы задания движения точки

Естественный способ

Предположим, что точка совершает движение по некоторой траектории Способы задания движения точки (рис. 99). Возьмем на этой траектории какую-либо произвольную (неподвижную) точку Способы задания движения точки и назовем ее началом отсчета расстояний. Измеренная в линейных единицах длина дуги Способы задания движения точки называется расстоянием точки Способы задания движения точки от начала отсчета или ее дуговой координатой. Это расстояние мы будем обозначать

Способы задания движения точки

строчной буквой Способы задания движения точки (в отличие от пути, пройденного точкой, обозначаемого прописной буквой Способы задания движения точки). Для определенности нужно условиться о направлении отсчета дуговой координаты s и считать величину s положительной, если расстояние откладывается по траектории в одну какую-либо сторону от начала отсчета Способы задания движения точки, и отрицательной, если оно откладывается в противоположную сторону. Выбор положительного направления отсчета, вообще говоря, произволен.

Еще раз подчеркнем, что расстояние s точки от начала отсчета нельзя смешивать с длиной пути Способы задания движения точки, пройденного точкой за соответствующий промежуток времени.

Пусть, например, некоторая точка за промежуток времени от 0 до Способы задания движения точки переместилась по своей траектории из начала отсчета Способы задания движения точки в положение Способы задания движения точки (рис. 99) и обратно. Тогда в момент времени Способы задания движения точки расстояние точки от начала отсчета Способы задания движения точки. Путь же, пройденный точкой за промежуток времени Способы задания движения точки, равен удвоенной дуге Способы задания движения точки.

В каждый момент точка может занимать только одно определенное положение на траектории, и следовательно, ее расстояние Способы задания движения точки от начала отсчета есть некоторая однозначная функция времени Способы задания движения точки Зависимость между переменными Способы задания движения точки и Способы задания движения точки может быть выражена уравнением

Способы задания движения точки

Уравнение Способы задания движения точки называется уравнением движения точки по траектории.

Траектория точки может быть задана различными способами: пли аналитически, т. е. в виде уравнения кривой, или геометрически. Представляющая собой закон движения точки по траектории функция Способы задания движения точки точно так же может быть задана или аналитически или в виде графика. График функции Способы задания движения точки называется графиком движения.

График движения нельзя отождествлять с траекторией движения точки.

Так, например, при равномерном движении точки Способы задания движения точки по некоторой кривой Способы задания движения точки (рис. 99) траекторией движения точки будет эта кривая. Графиком же движения точки (графиком функции Способы задания движения точки) будет прямая линия,так как при равномерном движении точки приращение ее расстояния Способы задания движения точки от начала отсчета прямо пропорционально приращению времени t ее движения.

Рассмотренный способ определения положения точки называется естественным. Таким образом, при естественном способе задания движения точки должны быть известны: а) траектория точки в выбранной системе отсчета, б) начало и положительное направление отсчета, в) закон движения точки по данной траектории: Способы задания движения точки.

Координатный способ

Координатный способ задания движения точки основан на том, что положение точки относительно некоторой системы отсчета всегда может быть определено при помощи некоторой совокупности чисел, называемых ее координатами.

Системы координат могут быть различными. Мы остановимся только на способе задания движения точки в прямоугольной (декартовой) системе координат.

Положение точки Способы задания движения точки относительно этой системы координат вполне определяется тремя координатами точки Способы задания движения точки и Способы задания движения точки (рис. 100). При движении точки Способы задания движения точки ее координаты изменяются с течением времени, т. е. будут являться некоторыми функциями аргумента Способы задания движения точки:

Способы задания движения точки
Способы задания движения точки

Уравнения (51) называются уравнениями движения точка в декартовых координатах.

Если нам будет известно, как изменяются со временем координаты точки, совершающей некоторое движение, т.е. если нам будут известны уравнения (51), то мы всегда сможем определить координаты этой точки для любого момента времени, а следовательно, определить и ее положение относительно данной системы отсчета.

Сели во все время движения О точка остается в одной плоскости, то, расположив систему двух взаимно перпендикулярных осей х и у в этой плоскости (рис. 101), мы получим возможность определять любое положение точки в данной плоскости только двумя ее координатами. Следовательно, плоское движение точки определяется двумя уравнениями движения в прямоугольных координатах:

Способы задания движения точки
Способы задания движения точки

Если точка совершает прямолинейное движение, то можно принять прямую, по которой движется точка, за одну из координатных осей, например, за ось Способы задания движения точки. Положение точки Способы задания движения точки на этой оси вполне определяется одной координатой Способы задания движения точки (рис. 102), и следовательно, прямолинейное движение точки задается одним уравнением:

Способы задания движения точки
Способы задания движения точки

Уравнения движения точки с прямоугольных координатах (51) и (52), задавая положение движущейся точки в любой момент времени, определяют тем самым и ее траекторию. Исключая время t из заданных уравнений движения точки, мы получаем уравнение ее траектории.

Векторный способ

Положение движущейся точки Способы задания движения точки (рис. 103) относительно какой-либо системы отсчета однозначно определяется в любой момент времени вектором Способы задания движения точки, проведенным из какой-либо точки Способы задания движения точки, неподвижной относительно выбранной системы отсчета. Этот вектор называется радиусом-вектором топки Способы задания движения точки.

При движении точки Способы задания движения точки ее радиус-вектор непрерывно изменяется (в общем случае и по модулю и по направлению), т.е. является векторной функцией времени

Способы задания движения точки
Способы задания движения точки

Уравнение (54) называется векторным уравнением движения точки.

Если принять точку Способы задания движения точки за начало прямоугольной системы координат и разложить радиус-вектор Способы задания движения точки по осям координат, то для радиуса-вектора, определяющего положение точки Способы задания движения точки (рис. 103), можно написать следующее выражение

Способы задания движения точки

где Способы задания движения точки — проекции радиуса-вектора на координатные оси, равные координатам движущейся точки Способы задания движения точки — орты координатных осей Способы задания движения точки.

Зная, как изменяются координаты движущейся точки Способы задания движения точки, т.е. зная уравнения (51) ее движения в декартовых координатах, можно для любого момента времени построить и радиус-вектор точки.

Таким образом, задание одного векторного уравнения (54) равносильно заданию трех скалярных уравнений (51). Вследствие этого векторный способ определения движения точки оказывается весьма удобным для доказательства теорем и установления общих зависимостей.

При решении же конкретных задач, когда требуется получить определенный численный результат, чаще более удобными оказываются естественный или координатный способы задания движения точки.

В большинстве практических задач движение точки определяется заданными условиями, в частности, заданной конструкцией механизма.

По этим условиям и находятся, аналитически или графически, траектория и уравнения движения интересующей точки.

Пример задачи:

Кривошип Способы задания движения точки (рис. 104) равномерно вращается вокруг неподвижной оси Способы задания движения точки и приводит в движение ползун Способы задания движения точки при помощи шатуна Способы задания движения точки, соединенного шарнирно с кривошипом и ползуном. Угол Способы задания движения точки поворота кривошипа изменяется со временем по закону Способы задания движения точки. Определить в прямоугольных координатах уравнения

Способы задания движения точки

движения средней точки Способы задания движения точки шатуна и найти траекторию этой точки. Длина кривошипа Способы задания движения точки. (Неподвижная направляющая ползуна расположена позади кривошипно-шатунного механизма.)

Решение:

Проведем прямоугольные координатные оси Способы задания движения точки и Способы задания движения точки так, как показано на рис. 104. Треугольник Способы задания движения точки — равнобедренный, следовательно, Способы задания движения точки.

Координатами точки Способы задания движения точки в данной системе координат будут:

Способы задания движения точки

Подставляя в эти уравнения значения Способы задания движения точки и Способы задания движения точки получаем искомые уравнения движения средней точки Способы задания движения точки шатуна:

Способы задания движения точки

Чтобы найти траекторию точки Способы задания движения точки, исключим время Способы задания движения точки из ее уравнений движения. Для этого найдем из данных уравнений значения

Способы задания движения точки

возведем их в квадрат и сложим:

Способы задания движения точки

Таким образом, траекторией средней точки Способы задания движения точки шатуна будет кривая, определяемая последним уравнением. Кривая эта есть эллипс с центром в неподвижной точке Способы задания движения точки и с полуосями

Способы задания движения точки

и

Способы задания движения точки

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Теоретическая механика — задачи с решением и примерами

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Определение положения центра тяжести фигур и тел сложной формы + пример с решением
Предмет, задачи и основные понятия кинематики в теоретической механике
Скорость точки. Ее определение при задании движения точки векторным способом
Ускорение точки. Его определение при задании движения точки векторным способом + пример с решением