Сравнение действительных чисел

Сравнение действительных чисел. Арифметические операции над действительными числами и их свойства

Два действительных числа и где и -целые числа, а — десятичные цифры, называются равными, если сразу при всех Равными также являются числа

(это две эквивалентные формы представления одного и того же действительного числа ). В дальнейшем договоримся рассматривать только первую из двух приведённых форм представления периодических дробей (с периодом 0).

Положительную бесконечную десятичную дробь назовём положительным действительным числом, отрицательную бесконечную десятичную дробь — отрицательным действительным числом, нулевую бесконечную периодическую дробь (с периодом нуль) — числом нуль. Любое положительное действительное число больше нуля, а любое отрицательное действительное число — меньше нуля (и меньше любого положительного числа).

Введём для двух положительных действительных чисел операцию сравнения. Говорят, что из двух чисел и первое больше второго, если либо , либо если , но , либо если (для некоторого натурального n), но .

Два действительных числа и называются противоположными числами. Два отрицательных действительных числа равны, если равны противоположные им числа. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого противоположное число меньше.

На множестве действительных чисел также определены четыре основные арифметические операции: сложения, умножения, вычитания и деления, причём арифметические операции над действительными числами удовлетворяют тем же законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности, что и над рациональными числами.

Рассмотрим, например, как определяется понятие суммы. Суммой двух произвольных действительных чисел а и b называется такое действительное число c, которое удовлетворяет неравенству

сразу для всех рациональных чисел , таких, что

Такое число c всегда существует и единственно (доказывается в курсе высшей математики).

Произведением двух положительных действительных чисел а и b называется такое действительное число c, что неравенство

выполняется для всевозможных рациональных удовлетворяющих неравенствам , . Такое число c также всегда существует и притом только одно. Произведение двух отрицательных действительных чисел определяется как произведение противоположных им положительных чисел. Произведение двух действительных чисел разных знаков равно взятому со знаком минус произведению числа а на число, противоположное b . Это отрицательное число существует и единственно (аналогично определяется произведение в случае . Произве-дение двух чисел, одно из которых есть нуль, равно нулю. Значение числа не меняется при умножении его на единицу.

Для действий сложения и умножения действительных чисел вводятся обратные действия — вычитание и деление. Вычесть из действительного числа а действительное число b означает найти действительное число c такое, что . Разделить действительное число а (делимое) на отличное от нуля действительное число b (делитель) значит найти действительное число c (частное) такое, что . Это всегда можно сделать, притом единственным образом. Множество действительных чисел замкнуто относительно введённых четырёх арифметических операций.

Приведём следующую теорему, отражающую важнейшие свойства действительных чисел.

Теорема 3 (совместные свойства рациональных и иррациональных чисел).

1) Сумма, разность, произведение и частное рационального и иррационального чисел есть число иррациональное, за исключением случая, когда нуль (рациональное число) умножается (делится) на иррациональное число и в результате также получается нуль.

2) Между любыми, сколь угодно близкими между собой двумя действительными числами всегда найдётся как рациональное, так и иррациональное число.

3) Чем ближе (на числовой прямой) рациональное число к иррациональному, тем больше цифр в периоде оно имеет. Если представить числовую последовательность, состоящую из рациональных чисел и стремящуюся к иррациональному числу, то количество цифр в периоде у членов этой последовательности стремится к бесконечности.

Сумма (разность) двух иррациональных чисел может быть как иррациональным , так и рациональным числом. Аналогично произведение (частное) двух иррациональных чисел также может быть как иррациональным так и рациональным числом. Обратимся к примерам.

Пример №91.

Привести примеры нескольких рациональных и иррациональных чисел, расположенных на числовой прямой между и .

Решение:

Так как и ,то в качестве рациональных чисел, удовлетворяющих условию задачи, можно взять, например, числа или . Примерами иррациональных чисел будут ,.

Пример №92.

Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби:

Решение:

Для избавления от иррациональности воспользуемся приёмом одновременного домножения числителя и знаменателя дроби на выражение, сопряжённое к знаменателю (понятие сопряжённого выражения подробно рассматривается ниже в разделе, посвящённом решению иррациональных уравнений и неравенств)

a)

б) Воспользуемся тождеством Если положить в нём , то получим, что к выражению сопряжённым будет . Далее, домножим одновременно числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое к знаменателю:

в) Имеем тождество: . Если положить в нём , то получим, что для выражения, находящегося в знаменателе дроби, сопряжённым служит :

г) Имеем

е) При имеем:

(отметим изменение ОДЗ в процессе преобразований: при умножении и делении на возникло дополнительное ограничение

Пример №93.

Упростить числа:

Решение:

а)1-й способ (метод неопределённых коэффициентов). Предположим, что под знаком радикала находится полный квадрат вида

Раскрывая квадрат, получим . Равенство

при натуральных а и b выполняется тогда и только тогда, когда Решим полученную систему подбором. Условию удовлетворяют только четыре пары натуральных чисел

Из них условию удовлетворяет лишь последняя. Таким образом,

2-й способ (с помощью формулы сложного радикала). Пусть а и b — действительные числа, такие, что . Тогда справедливо тождество

называемое формулой сложного радикала. Доказывается эта формула возведением в квадрат обеих её частей. Эта формула была известна ещё древним арабам. Она позволяет представить один радикал в виде суммы или разности двух других.

Вернёмся к задаче. Имеем Поэтому и, следовательно, . Применяя формулу сложного радикала, получаем

б) 1-й способ. Представим число x в виде

2-й способ. Заметим, что, очевидно, X > 0, и возведем равенство в квадрат последовательно два раза:

откуда получаем тот же результат.

в) Отметив, что X > 0 , возведём равенство в квадрат: Это квадратное уравнение имеет два корня Итак, это число 2.

г) Отметим, что данное число положительно, и возведём равенство в квадрат. После несложных вычислений получим, что

Пример №94.

Сравнить числа

Решение:

Обозначим первое из чисел за x, и возведём равенство

в куб, используя формулу сокращённого умножения

Тогда получим

Заметим, что x = 1 является корнем последнего уравнения. Делением многочлена на убеждаемся в том, что полученный в результате деления трёхчлен не имеет действительных корней. Таким образом, — единственный корень кубического уравнения. Следовательно, первое из сравниваемых равно 1. Ответ: числа равны.

Пример №95.

Что больше: или ?

Решение:

Уединив кубический корень, возведём оба числа в куб:

Ответ: первое число больше.

Пример №96.

Что больше:

Решение:

Выделяя полный квадрат под знаком квадратного корня в первом из чисел, получим:

Ответ: второе число больше.

Пример №97.

Расположить в порядке возрастания числа

Решение:

Рассмотрим функцию при . Введём вспомогательную функцию

значения которой при равны соответственно ординатам точек (поскольку отрезки являются соответственно средними линиями трапеций Покажем, что эта функция убывает при . Действительно, её производная

т.к. — убывающая функция.

Тогда имеем цепочку неравенств

т.е. . откуда приходим к ответу.

Замечание. Полученный результат в действительности является прямым

следствием того, что график функции при имеет выпуклость, направленную вверх (в строгом смысле).

Ответ:

Пример №98.

Найти все целые а и b, для которых один из корней уравнения равен

Решение:

Подставим в уравнение вместо значение корня :

и приведём последнее равенство к виду

Заметим, что произведение рационального числа и иррационального числа всегда иррационально, за исключением случая, когдаравно нулю (тогда это произведение рационально). В правой части равенства находится рациональное число Поэтому равенство возможно

тогда и только тогда, когда

т.е. при

Пример №99.

Найти все целые n, при которых справедливо paвенство

Решение:

Поскольку при целых n число может быть или целым, или иррациональным, а число-рационально, то отсюда заключаем, что — целое число. Но тогда, в свою очередь, числодолжно принимать целые значения, т.е. дробь должна быть целым числом. Это возмож-но тогда и только тогда, когда Учтём, что Имеем набор возможных значений n:

Проверкой убеждаемся, что из всех этих значений исходному равенству удовлетворяет только

Ответ:

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Предмет математика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Решение уравнений в рациональных числах

Иррациональные и действительные числа в математике с примерами решения

Алгебраические и трансцендентные числа в математике с примером решения

Целая, дробная части действительного числа и их свойства