Оглавление:
Степенные ряды
Степенным рядом называется ряд вида
где — числа, называемые коэффициентами степенного ряда.
При степенной ряд имеет вид
Этот ряд всегда сходится при .
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при некотором значении , отличном от нуля, то он сходится и притом абсолютно, при всех значениях , для которых .
Следствие. Если степенной ряд расходится при некотором значении , то он расходится и при всех значениях , для которых .
Интервал называется интервалом сходимости указанного ряда. На концах интервала сходимости ряд может сходиться или расходиться. Если степенной ряд сходится на всей числовой оси, то полагают ; если он сходится только при , полагают .
Радиусом сходимости степенного ряда (2) называется такое число , что при ряд сходится, а при — расходится.
Радиус сходимости вычисляется по одной из формул:
Задача №114.
Определить радиус сходимости степенного ряда .
Решение:
Имеем
Следовательно, .
Задача №115.
Найти область сходимости ряда .
Решение:
Этот ряд является степенным рядом вида (1). Сделаем замену: и сведём его к ряду (2). Найдём радиус сходимости для ряда .
Интервал сходимости ряда — (-2; 2). Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости. При получаем знакочередующийся числовой ряд , который расходится.
При числовой ряд тоже расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости рядов. Таким образом, областью сходимости ряда является промежуток (-2; 2).
Так как , то имеем — или , т. е. область сходимости данного ряда (-1; 3).
Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:
Решение задач по высшей математике
Возможно эти страницы вам будут полезны: