Для связи в whatsapp +905441085890

Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка

Структура общего решения ЛНДУ второго порядка

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка

Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка

где Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка — заданные, непрерывные на Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка функции. Уравнение

Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка

левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ (51.1), называется соответствующим ему однородным уравнением.

Теорема 51.1 (структура общего решения ЛНДУ). Общим решением Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка уравнения (51.1) является сумма его произвольного частного решения Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка и общего решения Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка соответствующего однородного уравнения (51.2), т. е.

Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка

Убедимся, что функция (51.3) — решение уравнения (51.1). Так как Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка есть решение уравнения (51.1), а Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка — решение уравнения (51.2), то

Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка

В таком случае имеем:

Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка

Это означает, что функция Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка является решением уравнения (51.1). Покажем теперь, что функция

Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка

является общим решением уравнения (51.1). Для этого надо доказать, что из решения (51.4) можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям

Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка

Продифференцировав функцию (51.4) и подставив начальные условия (51.5) в функцию (51.4) и ее производную, получим систему уравнений:

Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка

где Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка, с неизвестными Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка и Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка. Определителем этой системы является определитель Вронского Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка для функции Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка и Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка в точке Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка. Функции Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка и Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка линейно независимы (образуют фундаментальную систему решений), т. е. Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка.

Следовательно, система имеет единственное решение: Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка и Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка.

Решение Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка является частным решением уравнения (51.1), удовлетворяющим заданным начальным условиям (51.5). Теорема доказана.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами
Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ
Интегрирование нормальных систем