Сведения об экстремуме функции, частных производных, градиенте и производной по направлению
Из курса математики читателю известны простейшие задачи на отыскание точек максимума или минимума функции одной переменной. Функция 
, определенная в точке 
, достигает максимума (минимума) в окрестности точки , если для всех точек этой окрестности удовлетворяется неравенство 
.
Максимум и минимум функции объединяют одним названием экстремум. Как правило, точка — внутренняя точка естественной области определения функции 
и экстремум называют внутренним. Если существует производная 
в точке , то функция может иметь в точке внутренний экстремум лишь в том случае, когда при 
производная 
(необходимое условие экстремума). Экстремум может быть и в тех точках , где производная 
не существует. Но выполнение необходимого условия еще не означает, что в точке будет экстремум. Для того чтобы в точке был экстремум, производная в окрестности точки при переходе через должна менять свой знаке плюса на минус в точке максимума и с минуса на плюс в точке минимума. Можно применить и другой признак: если в точке первая производная и существует вторая производная 
, то в точке будет максимум при 
и минимум при 
В общем случае, если существуют производные от до 
-го порядка включительно и если 
и 
, функция имеет в точке максимум при четном и 
и минимум при четном и 
. Если нечетно, то функция в точке не имеет ни минимума, ни максимумам имеет точку перегиба.
Дадим несколько определений, которые потребуются в дальнейшем.
Действительная функция , определенная при , имеет в точке (локальный)максимум или (локальный)минимум , если существует такое положительное число 
, что при всех приращениях 
независимого переменного 
, равных 
, для которых выполняется неравенство 
и существует значение 
, приращение данной функции соответственно
Если в каждом из этих случаев выполняются нестрогие неравенства, то говорят, что функция 
имеет в точке нестрогий максимум (минимум).
Локальный (максимум) минимум называют внутренним (максимумом) минимумом или граничным (максимумом)минимумом, если соответственно точка является внутренней или граничной точкой области определения функции .
В формулировке задачи должна быть точно указана область определения функции . Например, функция 
при 
не имеет максимума, а функция 
при 
имеет при 
граничный максимум.
Если неравенство 
выполняется для любой точки 
, принадлежащей области определения функции , то говорят о глобальном максимуме (минимуме) функции в точке . Аналогичные определения справедливы для функции многих переменных.
Функцию , имеющую в данной точке производную, называют дифференцируемой в этой точке; функцию, имеющую производную во всех точках некоторого промежутка 
, называют дифференцируемой в этом промежутке.
Функцию многих переменных, имеющую полный дифференциал в данной точке, области, называют дифференцируемой в этой точке, области. Необходимое условие дифференцируемое™ функции многих переменных — наличие частных производных первого порядка (в точке, в области). Достаточные условия дифферен-цируемости функции многих переменных — существование и непрерывность всех частных производных первого порядка (в точке, в области).
Числовую функцию 
одного векторного аргумента 
вида
где 
— элементы симметричной матрицы (квадратной таблицы чисел) 
порядка 
называют квадратичной формой переменных.
Квадратичную форму называют положительно (отрицательно) определенной, если для любого ненулевого вектора выполняется неравенство
Такие формы объединяют общим названием — знакоопределенные. Если же имеется ненулевой вектор , для которого 
, форму называют квазизнакоопределенной. Квадратичную форму называют знакопеременной, если существуют такие векторы 
и 
что
Для наглядного представления поведения функции 
строят график функции. Если независимую переменную (аргумент) и зависимую переменную у рассматривать как декартовы координаты на плоскости, то действительная функция действительного переменного изобразится кривой — графиком функции 
от .
Для функции многих переменных 
упорядоченному множеству значений независимых переменных 
ставят в соответствие значения переменного . Множество значений для которых определено соотношение , есть область определения функции
Графиком функции многих переменных является поверхность для функций двух переменных и гиперповерхность — для большего числа переменных. Чтобы представить функцию 
переменных, вводятся понятия линий и поверхностей уровня. Это геометрическое место точек, в которых функция принимает одно и то же значение.
Уравнение поверхности уровня имеет вид
Давая константе 
различные значения, получаем семейство поверхностей уровня, определяющих поведение функции. Линии уровня вводятся для функции двух переменных:
Семейство линий уровня дает возможность представить функцию двух переменных
на плоскости. Например, семейство линий уровня на географических картах дает представление и о морских глубинах, и о высоте горных хребтов.
Для характеристики скорости изменения функции многих переменных относительно одной из переменных, например 
, при фиксированных значениях остальных независимых переменных вводится понятие частных производных 
Частная производная 
может быть найдена посредством дифференцирования функции 
по ( если остальные 
независимых переменных рассматривать как постоянные параметры.
Направление, в котором скорость возрастания функции многих переменных наибольшая, определяется вектором, называемым градиентом. Противоположное направление называют антиградиентом. Градиент скалярной функции
есть векторная функция точки и определяется как
где 
— знак градиента; 
— единичные векторы (орты), направленные по координатным осям:
Иногда применяется обозначение градиента в виде 
где индекс показываем переменные, по которым определяется градиент. Другими словами, градиент скалярной функции — это вектор, координатами которого являются частные производные заданной функции.
Скорость изменения скалярной функции
в произвольном направлении, задаваемом единичным вектором
с направляющими косинусами
определяется производной по направлению (действительное число)
Производная по направлению с градиентом скалярной функции 
связана скалярным произведением
Скалярным произведением двух векторов
называют действительное число, равное сумме произведений соответствующих координат векторов:
или произведению длин этих векторов на косинус угла между ними,
Градиент всегда ортогонален поверхности (линии) уровня функции . Действительно
Производная по направлению касательной к поверхности (линии) уровня 
равна нулю, 
. Поэтому 
:
Нам потребуются понятия линейной зависимости и независимости векторов. Векторы 
называют линейно зависимыми, если найдутся такие действительные числа 
не все равные нулю, что линейная комбинация векторов равна нулю: 
. Если же это равенство выполняется только тогда, когда все числа равны нулю, то векторы называют линейно независимыми.
Из определения линейной зависимости векторов следует, что если векторы линейно зависимы, то один из них может быть представлен в виде линейной комбинации остальных, и, обратно, если один из векторов есть линейная комбинация остальных, то векторы линейно зависимы.
Эта теория взята со страницы лекций по предмету «математическое программирование»:
Предмет математическое программирование
Возможно эти страницы вам будут полезны:
