Оглавление:
Свойства арифметических (алгебраических) корней
Пусть 
- если
- если
- (т.е. если
); - если
Дальнейшие свойства будут сформулированы для арифметических корней 
. Их можно обобщить на случай алгебраических корней аналогично тому, как это было сделано в данном пункте.
(если 
— чётное, то 
);
Доказательства этих свойств основаны на непосредственной проверке каждого из этих равенств, используя определения арифметического (алгебраического) корня и свойств степеней с целым показателем. Используется также тот факт (см. свойство 8б числовых неравенств), что два неотрицательных (неположительных) числа равны тогда и только тогда, когда их n -е степени (
) равны.
Доказательство. 1. Пусть n = 2k + 1. Так как при любом действительном а числа 
и а одного знака, то достаточно доказать, что после возведения данного равенства 
в степень n получим верное равенство 
. Это действительно так, поскольку n -я степень левой части
равенства 
равна подкоренному выражению 
(по определению корня n -й степени), и n-я степень правой части равенства 
также равна (по определению натуральной степени числа а ). Если же n= 2k , то свойство также верно, так как в этом случае 
здесь при доказательстве использовалось свойство модуля 
при чётных n ).
Остальные свойства будут доказаны для арифметических корней.
Пусть 
. Достаточно доказать равенство n -х степеней неотрицательных чисел 
. Действительно, 
(по определению арифметического корня n -й степени). С другой стороны, по свойству 4 степеней с натуральными показателями имеем
Пусть 
. Достаточно доказать равенство n-х степеней неотрицательных чисел 
. Возведём проверяемое равенство в n -ю
степень и, применяя для упрощения правой части свойство 5 степеней с натуральным показателем, а также используя для преобразования обеих частей определение арифметического корня n -й степени, получаем
Возведём равенство в n -ю степень и, применяя для упрощения правой части свойство 3 степеней с натуральным показателем, а также используя для преобразования обеих частей определение арифметического корня, получаем
Возведём доказываемое равенство в mn -ю степень и, применяя в левой части свойство 3 степеней с натуральным показателем, получим
Возведём равенство в n —ю степень и воспользуемся только что доказанным свойством 5 арифметических корней (а также определением арифметического корня и свойством 3 степеней с натуральным показателем):
Возведём равенство в nm -ю степень и применим для упрощения левой части свойства 4, 3 и 1 степеней с натуральным показателем:
Возведём равенство в nm-ю степень и применим для преобразования левой части свойства 5, 3 и 2 степеней с натуральным показателем (а также в обеих частях равенства — определением арифметического корня):
Пример №111.
Равносильны ли уравнения:
Решение:
1) Решим вначале второе из уравнений. Его ОДЗ задаётся неравенством 
. Так как основание 8 степеней в обеих частях уравнения (2) одно и то же, то, приравнивая показатели степеней, приходим к уравнению 
, откуда находим 
. Поскольку это значение принадлежит ОДЗ, получаем, что уравнение (2) имеет единственное решение .
2) Решим теперь первое уравнение. Его ОДЗ задаётся условиями 
. Для решения уравнения перейдём к его следствию 
, решая которое по-прежнему находим . Но в данном случае это значение уже не будет принадлежать ОДЗ уравнения (1), и поэтому не будет являться решением. Таким образом, приходим к результату: уравнение (1) не имеет решений. Ответ: уравнения не равносильны.
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
