Для связи в whatsapp +905441085890

Свойства неопределенного интеграла

Свойства неопределенного интеграла

Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих из его определения.

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

Свойства неопределенного интеграла

Действительно,

Свойства неопределенного интеграла

и

Свойства неопределенного интеграла

Благодаря этому свойству правильность интегрирования проверяется дифференцированием. Например, равенство

Свойства неопределенного интеграла

верно, так как Свойства неопределенного интеграла.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

Свойства неопределенного интеграла

Действительно, Свойства неопределенного интеграла.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Свойства неопределенного интеграла — постоянная.

Действительно,

Свойства неопределенного интеграла

(положили Свойства неопределенного интеграла).

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций:

Свойства неопределенного интеграла

Пусть Свойства неопределенного интеграла и Свойства неопределенного интеграла. Тогда

Свойства неопределенного интеграла

где Свойства неопределенного интеграла.

5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если Свойства неопределенного интеграла, то и Свойства неопределенного интеграла, где Свойства неопределенного интеграла — произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

Пусть Свойства неопределенного интеграла — независимая переменная, Свойства неопределенного интеграла — непрерывная функция и Свойства неопределенного интеграла — ее первообразная. Тогда Свойства неопределенного интеграла. Положим теперь Свойства неопределенного интеграла, где Свойства неопределенного интеграла — непрерывно-дифференцируемая функция. Рассмотрим сложную функцию Свойства неопределенного интеграла. В силу инвариантности формы первого дифференциала функции (см. с. 188) имеем

Свойства неопределенного интеграла

Отсюда Свойства неопределенного интеграла.

Таким образом, формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную.

Так из формулы Свойства неопределенного интеграла путем замены Свойства неопределенного интеграла на Свойства неопределенного интеграла (Свойства неопределенного интеграла) получаем Свойства неопределенного интеграла. В частности,

Свойства неопределенного интеграла

Пример №29.1.

Найти интеграл Свойства неопределенного интеграла.

Решение:

Свойства неопределенного интеграла

где Свойства неопределенного интеграла.

Дополнительный пример №29.2.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Формы записи комплексных чисел
Действия над комплексными числами
Таблица неопределенных интегралов
Метод непосредственного интегрирования