Для связи в whatsapp +905441085890

Основные свойства определенного интеграла

Рассмотрим основные свойства определенной) интеграла, считая подынтегральную функцию интегрируемой на отрезке Основные свойства определенного интеграла. При выводе свойств будем использовать определение интеграла и формулу Ньютона-Лейбница.

1. Если Основные свойства определенного интеграла — постоянное число и функция Основные свойства определенного интеграла интегрируема на Основные свойства определенного интеграла, то

Основные свойства определенного интеграла

т. е. постоянный множитель Основные свойства определенного интеграла можно выносить за знак определенного интеграла.

Составим интегральную сумму для функции Основные свойства определенного интеграла. Имеем:

Основные свойства определенного интеграла

Тогда Основные свойства определенного интеграла. Отсюда вытекает, что функция Основные свойства определенного интеграла интегрируема на Основные свойства определенного интеграла и справедлива формула (38.1).

2. Если функции Основные свойства определенного интеграла и Основные свойства определенного интеграла интегрируемы на Основные свойства определенного интеграла, тогда интегрируема на Основные свойства определенного интеграла их сумма и

Основные свойства определенного интеграла

т. е. интеграл от суммы равен сумме интегралов.

Основные свойства определенного интеграла

Свойство 2 распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых.

3. Основные свойства определенного интеграла.

Это свойство можно принять по определению. Это свойство также подтверждается формулой Ньютона-Лейбница.

Основные свойства определенного интеграла

4. Если функция Основные свойства определенного интеграла интегрируема на Основные свойства определенного интеграла и Основные свойства определенного интеграла, то

Основные свойства определенного интеграла

т. е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это свойство называют аддитивностью определенного интеграла (или свойством аддитивности).

При разбиении отрезка Основные свойства определенного интеграла на части включим точку Основные свойства определенного интеграла в число точек деления (это можно сделать ввиду независимости предела интегральной суммы от способа разбиения отрезка Основные свойства определенного интеграла на части). Если Основные свойства определенного интеграла, то интегральную сумму можно разбить на две суммы:

Основные свойства определенного интеграла

Каждая из написанных сумм является интегральной соответственна для отрезков Основные свойства определенного интеграла и Основные свойства определенного интеграла. Переходя к пределу в последнем равенстве при Основные свойства определенного интеграла, получим равенство (38.3).

Свойство 4 справедливо при любом расположении точек Основные свойства определенного интеграла(считаем, что функция Основные свойства определенного интеграла интегрируема на большем из получающихся отрезков).

Так, например, если Основные свойства определенного интеграла, то

Основные свойства определенного интеграла

Отсюда

Основные свойства определенного интеграла

(использованы свойства 4 и 3).

5. «Теорема о среднем». Если функция Основные свойства определенного интеграла непрерывна на отрезке Основные свойства определенного интеграла, то существует точка Основные свойства определенного интеграла такая, что

Основные свойства определенного интеграла

По формуле Ньютона-Лейбница имеем

Основные свойства определенного интеграла

где Основные свойства определенного интеграла. Применяя к разности Основные свойства определенного интеграла теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим

Основные свойства определенного интеграла
Основные свойства определенного интеграла

Свойство 5 («теорема о среднем») при Основные свойства определенного интеграла имеет простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором Основные свойства определенного интеграла, площади прямоугольника с высотой Основные свойства определенного интеграла и основанием Основные свойства определенного интеграла (см. рис. 169). Число

Основные свойства определенного интеграла

называется средним значением функции Основные свойства определенного интеграла на отрезке Основные свойства определенного интеграла.

6. Если функция Основные свойства определенного интеграла сохраняет знак на отрезке Основные свойства определенного интеграла, где Основные свойства определенного интеграла, то интеграл Основные свойства определенного интеграла имеет тот же знак, что и функция. Так, если Основные свойства определенного интеграла на отрезке Основные свойства определенного интеграла, то Основные свойства определенного интеграла.

По «теореме о среднем» (свойство 5)

Основные свойства определенного интеграла

где Основные свойства определенного интеграла. А так как Основные свойства определенного интеграла для всех Основные свойства определенного интеграла, то и

Основные свойства определенного интеграла

Поэтому Основные свойства определенного интеграла, т. е. Основные свойства определенного интеграла.

7. Неравенство между непрерывными функциями на отрезке Основные свойства определенного интеграла, (Основные свойства определенного интеграла) можно интегрировать. Так, если Основные свойства определенного интеграла при Основные свойства определенного интеграла, то Основные свойства определенного интеграла.

Так как Основные свойства определенного интеграла, то при Основные свойства определенного интеграла, согласно свойству 6, имеем

Основные свойства определенного интеграла

Или, согласно свойству 2,

Основные свойства определенного интеграла

Отметим, что дифференцировать неравенства нельзя.

8. Оценка интеграла. Если Основные свойства определенного интеграла и Основные свойства определенного интеграла — соответственно наименьшее и наибольшее значения фикции Основные свойства определенного интеграла на отрезке Основные свойства определенного интеграла, то

Основные свойства определенного интеграла

Так как для любого Основные свойства определенного интеграла имеем Основные свойства определенного интеграла, то, согласно свойству 7, имеем

Основные свойства определенного интеграла

Применяя к крайним интегралам свойство 5, получаем

Основные свойства определенного интеграла
Основные свойства определенного интеграла

Если Основные свойства определенного интеграла, то свойство 8 иллюстрируется геометрически площадь криволинейной трапеции заключена между площадями прямоугольников, основание которых есть Основные свойства определенного интеграла, а высоты равны Основные свойства определенного интеграла и Основные свойства определенного интеграла (см. рис. 170).

9. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции:

Основные свойства определенного интеграла

Применяя свойство 7 к очевидным неравенствам Основные свойства определенного интеграла Основные свойства определенного интеграла, получаем

Основные свойства определенного интеграла

Отсюда следует, что

Основные свойства определенного интеграла

10. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, т. е.

Основные свойства определенного интеграла

По формуле Ньютона-Лейбница имеем:

Основные свойства определенного интеграла

Следовательно,

Основные свойства определенного интеграла

Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Определенный интеграл как предел интегральной суммы
Геометрический и физический смысл определенного интеграла
Вычисления определенного интеграла
Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования