Оглавление:
Свойства определенного интеграла
Свойства определенного интеграла. Используйте обозначения и терминологию, представленные в предыдущем разделе, систематически, без специальной ссылки. Прежде всего, заметим, что Далее мы переходим к рассмотрению основных характеристик конкретного интеграла. Фактически, здесь подынтегральная функция равна 1, поэтому для интегральной суммы Римана ax 2°.Если функция/может быть интегрирована с интервалом[a, b], то она может быть интегрирована с любым интервалом[a, b], включенным в[a, b]. Доказательство. Во-первых, если функция/ограничена на отрезке[А, B], очевидно, ограничивается[а,&].
Поскольку Интеграл функции это число, связанное с конкретной функцией по приведенному выше определению, то само собой разумеется, что это число не зависит от выбора обозначения аргументов подынтегральной функции, то есть от обозначения интегральной переменной. Людмила Фирмаль
- Кроме того, перегородка м * = от Если вы режете[a, b] в тонкости bx*, вы всегда можете следовать разделу m = { * * }!■=Для отрезков одинаковой тонкости[a, b] 8T = 8T «;для этого точки A*, 1 = 1, 2,…К k * достаточно добавить конечное число правильно выбранных точек, принадлежащих интервалу[a, 6], но не интервалу[a, b. Предположение И каждое сложение суммы^(W-m*) Ax * равно Будут подведены итоги-и все сроки Если сумма обоих не отрицательна、 Функция / интегрируема в интервале[a, b], как известно(см. БТ = б|, так что из(28.2) и неравенства (28.1) То есть функция/(см.§ 27.4) может быть интегрирована с интервалом[a, b]. 0 3°. скажем чч КБ. Если функция / интегрируется с сегментами[a, c]и[c, b], то она интегрируется с сегментами[a, 6]и далее.
Доказательство. Если функция / интегрируется с[a, c]и[c, b], то существует постоянная a 0 на всем отрезке[a, b], поскольку она ограничена каждым из этих сегментов. пусть m-разбиение отрезков [a, b].Если точка c не принадлежит разбиению m, то она указывает на разбиение отрезка [a, b], полученного путем сложения точки c на m. очевидно.、-、 Если точка c входит в раздел m, поставьте m ’= M. В первом случае в А ’и А» указывают длину 2 отрезков перегородки м, примыкающих к точке с с обеих сторон. Очевидно, что D = D ’+ D»это длина отрезка m раздела, содержащего точку c (рис.105).Верхняя сумма Дарбо функций 5X и 5T / на интервале[a, b] различается только в терминах, соответствующих отрезкам разбиений m и m’, включая точки C. Вершина функции, показанной Л4′, М» и М| / длина рассматриваемого сегмента равна.
- Это означает, что вы получаете D \ D «и D (см. Также (28.5)） Во 2-м случае, то есть в случае m ’= m, просто 5X’ = 5X, 5X ’ = 5X. So в обоих случаях Множество точек разбиения m \, принадлежащих отрезку[a, c], образует его разбиение. На это указывает m ’[a, c]. Множество точек отсеков m ’ образуют отсеки этого отрезка, принадлежащие отрезку[c, b].Это представлено m’ [c, b.Очевидно. И так оно и есть.、 И поскольку функция / интегрируется с[a, c]и[c, b] по предположению、 Выше мы видели, что выполнение аналогичных условий для разбиения m подразумевает интегрируемость функции. Здесь, в секции м, рассматриваемым есть специальная форма. Они всегда включают точку c. представляет разницу 5X-5x в формате для перехода к любому разделу m Из (28.7), (28.8) и (28.11)
Интегрируемость функций$на интервале[a, c], [c, b]и| a, & означает следующее (см.§ 27.4） Таким образом, предел 8T’0 достигается в первом уравнении (28.9), получаем выражение (28.4). Тс 4°.Если функции/и§интегрируемы в интервале\ a, b\, то сумма их} + 8 также интегрируема, и далее Доказательство. По сути, перегородка м = {х, -} [=о сегменте[а, U и точки| Гэ [х, −1,*.], Р = 1, 2,….. 。к, Из-за интегрируемости функций {§, интегральная сумма BX> 0 am (/) и ox (§) ограничена, поэтому из (28.14) предел интегральной суммы Ox (1 + 8) (Почему? Есть и такие). И затем Это означает интегрируемость функции}§ § интервал[a, 6]. Согласно определению интеграла、 Подставляя эти выражения в выражение (28.15), получим.
А поскольку m было произвольным разбиением отрезков [a, b], то ограниченность функций отрезка [a, b] и достаточность условия означают интегрируемость в этом отрезке. Людмила Фирмаль
- 5°. Функция [сегмент [a, b]интегрируема, c постоянна’, и функция c / интегрируема и в этом сегменте.、 Доказательство. Разбиение m = {x, -}; = отрезок [a, b]и точка xr] из 1, r = 1, 2, 6、 У нас есть Отсюда, если вы выполняете аргументы по той же схеме, что и предыдущее доказательство свойства, вы получаете: Результат следует из последних 2 свойств. Каждая функция 1 = 1,…если n можно интегрировать в интервал[a, b]、 А X любая константа, функция Эта характеристика конкретного интеграла называется его линейностью. 6°.Предположим, что функция f (x) α ((x) интегрируема в интервале[a, b].
Смотрите также:
