Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций

Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций

Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций. В этом и следующем разделах мы рассмотрим некоторые характеристики преобразования Фурье функции, которое обозначается/или P [/]как above. In кроме того, обычно предполагается, что функция/принимает комплексное значение, и ее аргументы всегда действительны. Лемма 4.Если функция/полностью интегрируема по числовой оси, то ее преобразование Фурье} (y) ограничено по оси、 + КОМПАНИЯ } (г))^^ = $ c(х)\ ух. (56.23） Последовательность функций, которые могут привести к абсолютным интегрируемым результатам! Н(х), п = 1, 2,…, А абсолютная интегрируемая функция f (x) равна、 ’|СО §] /«(Х) {(Х)| Х = 0、 И -* » ОО Тогда последовательность{[n(y)} сходится равномерно к функции по всей числовой оси}(y). Доказательство. За уравнением следует неравенство (56.23) (см. 56.21） 4 * CO (56.24） / 0 /）= ^ = ^（（х)е-1xYy、 КОМПАНИЯ. \ e {xy \ = \ если вы помните. Ноль 56.7.Свойства преобразования Фурье 403. Причинность следует вскоре после линейности неравенства (56.23) и преобразования Фурье. 4 * CO \?н(г) −1(г)\ = \ [н(х) ч (х)\ 2! С я} п(х)-НХ)\ ух. Я не уверен. (56.23).

Если функция абсолютно интегрируема по числовой оси, то ее преобразование Фурье непрерывно. Людмила Фирмаль

• Лемма 5.、 Ну /(г)=0.(56.25 )） / / «±ОО Доказательство. пусть f (x)= h (x) (й (x).Где u(x) и o (x) полностью интегрируемые вещественные функции. f (x)= u (x)+ 1o (x), то докажите непрерывность Луч Достаточно доказать непрерывность функций u (x) и b (x) функции f(y).Здесь, как всегда, u (x) и b (x) реальные значения Функция фактического аргумента, и оба(i)и V(i) являются, вообще говоря, комплекснозначными функциями фактического аргумента. Согласно вспомогательной теореме 2 § 55.2, шаговая функция pn (x), n = 1,2, которая компактно поддерживается для реальной функции f (x), которая может быть абсолютно интегрируемой по оси… Существует последовательность событий. +°С Золото§ / φ»(x)-/(x)| yx = 0. П + СО_ С результатом леммы 4 последовательность| pn(y)} сходится равномерно к функции [(y).для проверки непрерывности функции f (y) достаточно доказать, что функция pn (y) непрерывна (см. теорему 36.4§ 8).Покажи мне.

• Каждая конечная ступенчатая функция является характеристической функцией 1-ступенчатой линейной комбинации (см.§ 55.2), или, точнее, полусечением формы[a, b). Таким образом, линейность преобразования Фурье доказывает непрерывность функции/если она указывает, что преобразование Фурье непрерывно для характеристической функции полуинтервала[a, b). Б-6 ©(Г)= -Д =(Е-ограничения имеются для распространения информации= -.-4 = ^ Е1 * а(р-з /） / 2л е-1xU х-б хЯ (е-1ю _eChau） Ты 2л пусть ω характеристической функции наполовину разделе[А, B), т. е. со (х)= 1 при a> xxCb, и со (х) = 0 для X ailih= Р&.Затем, по (56.21), когда γ 0、 56.Интегралы Фурье и преобразования Фурье Четыреста четыре Так… （ В УФ 0, У-0. Б-а \ р2я U2l Но… Я (бля _CHOW） Г 2л * Б-а Очевидно, что правая часть этого уравнения является непрерывной функцией для всех Увс. y = 0 указывает на непрерывность. Золото г * о Р(Е Н быть н-0） У 2Л Я V 2 L Тю \ [(1-ЛБ + о(г))-(1-га + о(г))] = г * 0 г Один О. ГБ золото Ага. ля Ош = Б-а У2 ′ если y = 0, то по той же формуле (56.21) То есть функция a(y) действительно непрерывна в точке y = 0.

Таким образом, непрерывность по числовой оси функциипреобразования Фурьеоказывается интегрируемой по числовой оси функции, которая принимает вещественные значения. Людмила Фирмаль

• Отныне, как уже говорилось выше, непрерывность преобразования Фурье функции/ = абсолютной интегрируемой по всей числовой оси} = uf, то есть в общем случае следует комплексным значениям. Равенство (56.25) следует из теоремы 2, пункт 55.2.Действительно, во-первых, функция/полностью интегрируется по числовой оси, принимая только фактическое значение. Я-b00 данные + ОО-| /(г)= | /(х) co8 ху c1x-я ^ /(х) 81 н Ху ух я Здесь, по указанной теореме, действительная часть и мнимая часть, а следовательно, и сама функция/(y) стремятся к нулю следующим образом: Да. Теперь, в случае/ =µ+ω, доказано、 И =Пятница/(y)= 0, следовательно, пятница/(y)= 0. Ноль Г + + со г + ±сотрудничества.

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

Преобразование Фурье.	Преобразование Фурье производных.
Интегралы Лапласа.	Свертка и преобразование Фурье.