Оглавление:
Свойства преобразования Лапласа
Находить изображения, пользуясь только определением изображения, не всегда просто и удобно. Свойства преобразования Лапласа существенно облегчают задачу нахождения изображений для большого числа разнообразных функций, а также задачу отыскания оригиналов по их изображениям.
Линейность
Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений, т. е. если 
, 
и 
— постоянные числа, то 
.
Используя свойства интеграла, находим
Пример №78.4.
Найти изображения функций 
(
— любое число), 
.
Решение:
Пользуясь свойством линейности, формулой (78.3), находим:
т.е.
Аналогично получаем формулу
Далее, 
, т. е.
Наконец, 
, т.е.
Аналогично получаем формулу
Подобие
Если 
, то 
, т. е. умножение аргумента оригинала на положительное число 
приводит к делению изображения и его аргумента на это число.
По формуле (78.1) имеем
(так как безразлично, какой буквой обозначена переменная интегрирования).
Например, пусть 
. Тогда
Смещение (затухание)
Если 
, то 
, т. е. умножение оригинала на функцию 
влечет за собой смещение переменной 
.
В силу формулы (78.1) имеем
Благодаря этому свойству можно расширить таблицу соответствия между оригиналами и их изображениями:
Пример №78.5.
Найти оригинал по его изображению
Решение:
Преобразуем данную дробь так, чтобы можно было воспользоваться свойством смещения:
(См. формулы (78.9), (78.10) и свойство линейности.)
Запаздывание
Если 
, то 
, т. е. запаздывание оригинала на положительную величину 
приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на 
.
Положив 
, получим
Поясним термин «запаздывание». Графики функции 
и 
имеют одинаковый вид, но график функции сдвинут на единиц вправо (см. рис. 304). Следовательно, функции и описывают один и тот же процесс, но процесс, описываемый функцией , начинается с опозданием на время .
Свойство запаздывания удобно применять при отыскании изображения функций, которые на разных участках задаются различными аналитическими выражениями; функций, описывающих импульсные процессы.
Функция 
называется обобщенной единичной функцией (см. рис 305).
Так как 
, то 
.
Запаздывающую функцию
можно записать так: 
.
Пример №78.6.
Найти изображение 
.
Решение:
Для того чтобы быть оригиналом, функция должна удовлетворять условиям 1-3 (см. п. 78.1). В этом смысле исходную задачу можно понимать двояко.
Если понимать функцию как
т. е. 
(см. рис. 306, а), то, зная, что 
(см. формулу (78.4)), 
и, используя свойство линейности, находим
Если же понимать функцию как
т. е. 
(см. рис. 306, б), то, используя свойство запаздывания, находим 
.
Пример №78.7.
Найти изображение функции
Решение:
Данная функция описывает единичный импульс (см. рис. 307), который можно рассматривать как разность двух оригиналов: единичной функции 
и обобщенной единичной функции 
. Поэтому 
.
Пример №78.8.
Найти изображение функции
Решение:
Функция-оригинал изображена на рис. 308. Запишем ее одним аналитическим выражением, используя функции Хевисайда и 
:
т.е.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
Изображение функции будет равно
Замечания.
- Изображение периодического оригинала с периодом, равным
, есть 
. - Свойство опережения
применяется значительно реже.
Дифференцирование оригинала
Если 
и функции 
являются оригиналами, то
По определению изображения находим
Итак, 
. Пользуясь полученным результатом, найдем изображение второй производной 
:
Аналогично найдем изображение третьей производной 
:
Применяя формулу (78.11) 
раз, получим формулу (78.14).
Замечание. Формулы (78.11)—(78.14) просто выглядят при нулевых начальных условиях: если 
, то 
; если 
, то 
, и, наконец, если 
, то 
, т. е. дифференцированию оригинала соответствует умножение его изображения на .
Рассмотренное свойство дифференцирования оригинала вместе со свойством линейности широко используется при решении линейных дифференциальных уравнений.
Пример №78.9.
Найти изображение выражения
если 
.
Решение:
Пусть 
. Тогда, согласно формулам (78.11) — (78.13), имеем
Следовательно,
Дифференцирование изображения
Если 
, то
т. e. дифференцированию изображения соответствует умножение его оригинала на 
.
Согласно теореме 78.1 существования изображения, 
является аналитической функцией в полуплоскости 
. Следовательно, у нее существует производная любого порядка. Дифференцируя интеграл (78.1) по параметру (обоснование законности этой операции опустим), получим
т.е. 
. Тогда 
, 
и вообще 
.
Пример №78.10.
Найти изображения функций 
Решение:
Так как , то, в силу свойства дифференцирования изображения, имеем 
, т. е.
Далее находим 
, т.е. 
. Продолжая дифференцирование, получим
С учетом свойства смещения получаем
Согласно формуле (78.5), 
. Следовательно,
т. e. 
, или
Аналогично, используя формулы (78.6), (78.7) и (78.8), находим
С учетом свойства смещения и формул (78.15) и (78.16), получаем
Интегрирование оригинала
Если 
, то 
, т. е. интегрированию оригинала от 0 до 
соответствует деление его изображения на .
Функция 
является оригиналом (можно проверить).
Пусть 
. Тогда по свойству дифференцирования оригинала имеем
(так как 
). А так как
то 
. Отсюда 
, т. е. 
.
Интегрирование изображения
Если и интеграл 
сходится, то 
, т. e. интегрированию изображения от до 
соответствует деление его оригинала на .
Используя формулу (78.1) и изменяя порядок интегрирования (обоснование законности этой операции опускаем), получаем
Пример №78.11.
Найти изображение функции 
; найти изображение интегрального синуса 
.
Решение:
Так как 
, то 
, т.е. 
. Применяя свойство интегрирования оригинала, получаем 
.
Умножение изображений
Если 
, то
Можно показать, что функция 
является оригиналом.
Используя преобразование Лапласа (78.1), можно записать
Область 
интегрирования полученного двукратного интеграла определяется условиями 
(см. рис. 309).
Изменяя порядок интегрирования и полагая 
, получим
Интеграл в правой части формулы (78.17) называется сверткой функции 
и 
и обозначается символом 
, т. е.
Можно убедиться (положив 
), что свертывание обладает свойством переместительности, т. е. 
.
Итак, умножение оригиналов равносильно их свертыванию, т. е.
Пример №78.12.
Найти оригинал функций
Решение:
Так как 
и 
то
т.е.
Аналогично получаем
Следствие 78.2. Если 
и 
также является оригиналом, то
Запишем произведение 
в виде
или
Первое слагаемое в правой части есть произведение изображений, соответствующих оригиналам 
и . Поэтому на основании свойства умножения изображений и линейности можно записать 
или
Формула (78.18) называется формулой Дюамеля.
На основании свойства переместительности свертки формулу Дюамеля можно записать в виде
Формулу Дюамеля можно применять для определения оригиналов по известным изображениям.
Пример №78.13.
Найти оригинал, соответствующий изображению
Решение:
Так как
то на основании формулы Дюамеля (78.18) имеем
Умножение оригиналов
Если 
и 
, то
где путь интегрирования — вертикальная прямая 
(см. рис. 310) (примем без доказательства).
Резюме
Рассмотренные свойства преобразования Лапласа представляют собой основные правила (аппарат) операционного исчисления. Для удобства пользования перечислим эти свойства.
- Линейность:
. - Подобие:
. - Смещение:
. - Запаздывание:
. - Дифференцирование оригинала:
- Дифференцирование изображения
- Интегрирование оригинала:
. - Интегрирование изображения:
. - Умножение изображений:
. - Умножение оригиналов:
.
Таблица оригиналов и изображений
Составим краткую таблицу, устанавливающую соответствие между некоторыми оригиналами (часто встречающимися на практике) и их изображениями. Достаточно полная таблица оригиналов и изображений, позволяющая по заданному оригиналу находить изображение и наоборот, есть, в частности, в книге «Справочник по операционному исчислению» (авторы В. А. Диткин и П. И. Кузнецов).
Таблица оригиналов и изображений
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Существенно особая точка |
| Вычисление вычетов. Применение вычетов в вычислении интегралов |
| Обратное преобразование Лапласа |
| Действия над матрицами |
