Свойства степенных рядов
Сформулируем без доказательства основные свойства степенных рядов.
1. Сумма 
степенного ряда (62.3) является непрерывной функцией в интервале сходимости 
.
2. Степенные ряды 
и 
, имеющие радиусы сходимости соответственно 
и 
, можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел и .
3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда
при 
выполняется равенство
4. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ряда (63.3) при 
выполняется равенство (см. замечание 1, с. 416)
Ряды (63.4) и (63.5) имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.
Перечисленные свойства 1-4 остаются справедливыми и для степенных рядов вида (62.4).
Свойства степенных рядов широко используются в теоретических исследованиях и в приближенных вычислениях.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов |
| Сходимость степенных рядов |
| Ряды Тейлора и Маклорена |
| Периодические функции. Периодические процессы |
