Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
Теорема 20.1. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.
Пусть функция 
дифференцируема в некоторой точке 
. Следовательно, существует предел 
.
Отсюда, по теореме 17.5 о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем 
, где 
при 
, то есть 
.
Переходя к пределу, при , получаем 
. А это и означает, что функция непрерывна в точке .
Обратная теорема неверна: непрерывная функция может не иметь производной. Примером такой функции является функция
Изображенная на рисунке 131 функция непрерывна в точке 
, но не дифференцируем в ней.
Действительно, в точке имеем
Отсюда следует, что 
не существует, т. е. функция 
не имеет производной в точке , график функции не имеет касательной в точке 
.
Замечания: 1. Существуют односторонние пределы функции в точке : 
. В таких случаях говорят, что функция имеет односторонние производные (или «производные слева и справа»), и обозначают соответственно 
и 
.
Если 
, то производная в точке не существует. Не существует производной и в точках разрыва функции.
2. Производная 
непрерывной функции сама не обязательно является непрерывной.
Если функция имеет непрерывную производную в некотором интервале 
, то функция называется гладкой.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Скорость прямолинейного движения |
| Касательная к кривой |
| Производная суммы, разности, произведения и частного функций |
| Производная сложной и обратной функций |
