Для связи в whatsapp +905441085890

Связи и возможные перемещения

Связи и возможные перемещения

Рассмотрим систему материальных точек положение которых определяется их декартовыми координатами Связи и возможные перемещенияЕсли на точки системы не наложено никаких связей, то их координаты Связи и возможные перемещения могут принимать произвольные значения. Может оказаться, что координаты точек системы подчинены некоторым ограничениям, которые называются связями. Эти связи могут быть представлены в виде равенств или неравенств, ограничивающих область допустимых значений координат точек системы. Если связи представляются в виде равенств

Связи и возможные перемещения

то число их не должно превосходить величины Связи и возможные перемещения где n число точек системы. В противном случае при Связи и возможные перемещения уравнения связей будут однозначно определять координаты всех точек системы, и система не сможет перемешаться из положения, определенного связями. Так, например, для точки, вынужденной оставаться на окружности, уравнения связи могут быть представлены в виде

Связи и возможные перемещения

Если связи представляются в виде равенств, то координаты точек системы всегда должны удовлетворять этим равенствам. Такие связи называются удерживающими, или двусторонними.

Связи записываются в виде неравенств (соединенных с равенствами) вида

Связи и возможные перемещения

когда точки системы в рассматриваемом положении подчинены условиям, определяемым равенствами, а возможные перемещения таковы, что точки системы могут освобождаться от связей. Такие связи могут ограничивать возможные перемещения системы. Так, например, координаты материальной точки, находящейся внутри материальной сферы, будут подчинены условию

Связи и возможные перемещения

Если связь, накладываемая на некоторую точку системы, осуществляется в виде строгого неравенства, то она будет осуществляться в виде неравенства и в некоторой достаточно малой окрестности этого положения, поэтому она не будет оказывать никаких ограничений на перемещения рассматриваемой точки. Такая связь оказывается несущественной в рассматриваемом положении и при анализе данного положения равновесия может быть отброшена из рассмотрения. Все проведенные рассуждения могут быть распространены и на более общий случай.

Связи, которые записываются в виде неравенств (соединенных с равенствами) в дальнейшем будем называть неудерживающими, или освобождающими связями (односторонними).

Пусть на систему материальных точек наложены удерживающие связи

Связи и возможные перемещения

где n число точек системы. Будем предполагать, что матрица Якоби, составленная из частных производных от функций Связи и возможные перемещения по всем переменным Связи и возможные перемещения

Связи и возможные перемещения

имеет ранг m, т. с. хотя бы один из миноров т-го порядка этой матрицы отличен от нуля. При выполнении этих условий ссе функции Связи и возможные перемещения будут независимыми и ни одна из них не является функцией остальных. Наряду с данным рассмотрим соседнее, бесконечно близкое положение системы, допускаемое наложенными связями. Тогда координаты точек этого нового положения

Связи и возможные перемещения

будут также удовлетворять уравнениям связи (а), так что

Связи и возможные перемещения

Предполагая, что уравнения связей представлены непрерывными, сколь угодно раз дифференцируемыми функциями, перепишем уравнения (b) в виде степенного ряда но малым значениям величин Связи и возможные перемещения

Связи и возможные перемещения

где

Связи и возможные перемещения

для всех значений координат точек системы.

Для достаточно малых значений Связи и возможные перемещения при которых можно пренебречь членами выше первого порядка малости, получим

Связи и возможные перемещения

или

Связи и возможные перемещения

Вариации координат Связи и возможные перемещения удовлетворяют полученным т уравнениям связи и не могут быть все заданы произвольно. Из условия, что матрица, составленная из коэффициентов при Связи и возможные перемещения имеет ранг m, следует, что m из величин Связи и возможные перемещенияявляются зависимыми и могут быть выражены через остальные Связи и возможные перемещения независимых величин Связи и возможные перемещения Число Связи и возможные перемещения называют числом степеней свободы системы. Оно равно числу независимых параметров, определяющих положение механической системы. Такими параметрами могут быть как Связи и возможные перемещения независимых декартовых координат, так и криволинейные координаты, в ряде случаев более отвечающие рассматриваемой задаче. Так, например, положение точки на окружности можно задать всего одним параметром, в качестве которого можно выбрать угол, который радиус, соединяющий точку с центром окружности, образует с некоторой заданной прямой.

Эта лекция взята со страницы, где размещены все лекции по предмету теоретическая механика:

Предмет теоретическая механика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Принцип возможных перемещения
Принцип Торричелли
Обобщенные координаты
Общие теоремы о равновесии системы материальных точек