Для связи в whatsapp +905441085890

Техника дифференцирования элементарных функций

Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Техника дифференцирования элементарных функций
Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - image-10-1.png

Техника дифференцирования элементарных функций

  • Методика дифференцирования основных функций Чтобы отличить функции, которые обычно наблюдаются на практике, нужно знать несколько простых и важных формул от сердца. Приступайте к заключению этих формул. Н°1.Дифференциальная константа. пусть y = C (постоянное значение можно считать функцией аргумента

x).Выполните 5 действий, описанных в определении производных инструментов. Если значение аргумента равно x, то y = C. Если принять во внимание новое значение аргумента x -} — bx, и указать через y — \ — с соответствующим значением функции, Однако Lu = 0 и — ^ = 0.Отсюда Y-Jim g = 0、 О, да. Иначе говоря Да.) (SU = 0. Производная от константы равна

как уже упоминалось, y — \ — Dy = C. Людмила Фирмаль

нулю. н°2.Производная независимой переменной. пусть y = x. найти y. To сделайте это, исправьте аргумент x. После этого y = x также фиксируется. дадим х приращение ДД. Найдите новое значение функции y \ y = xbx. Следовательно, Lu =и AU-1 Так что Y = 1, или (ху = 1. (2) Таким образом, производная независимой переменной будет равна 1. П°3.Производная функции должна быть y = xa. найти y.

исправление х, найти соответствующее значение функции y = x, то добавить инкремент \ Д *для аргумента X, находим новое значение функции Д£ Икс И затем… И затем — Л т-л др. АЕК Поставить — =и запомнить(гл. II,§ 1, n°10). у Е + «> А-1 = а、 Ага. Да. У нас есть У-Хм О, доктор. Или (3) Образцы. 1) если y = x\, то Y = 7 2) в этом случае y =

  • jxs. 3) Если J> -, V = — 8jT *. Производную квадратного корня рекомендуется называть отдельно. То есть, Допустим, y = yy. Тогда, общая формула Или То есть производная квадратного корня равна 2 от того же корня путем деления 1. в N°4.Знаки и производные Косинуса. допустим, u = sinjc. Выяснить. Зафиксируйте аргумент x. затем дайте y = sinx x приращение A и найдите значение jf-J-Ayss sln (x — / — yes:). Итак, ay = sin (— /- e) —sinjc, и на основе известного

выражения Ду = 2 грех-потому что потому что 2—• грех L-грех ^ = 2 греха Мы получаем Значение И затем) Дд: Грех Год= Оправы Уже 0 = cosx. потому что Да. Л, Т. Так… (slnjcy = cosx Точно так же мы используем известное выражение для разности косинусов потому что-потому что£= = −2sin. Грех Установите выражение (6) (потому что Ху = — грех*. n°5.It естественно вернуться к выведению выражения производной от тангенса после рассмотрения производной

Но с тех пор г соех ’ Тогда вы сталкиваетесь с более общей проблемой: предположим, что v — это 2 Людмила Фирмаль

от правила-синуса и Косинуса, чтобы различать суммы, разности, произведения и частные.  функции аргумента x, а его производная-i / hi/, которая существует и является known. It необходимо найти производную от private (5) Вы можете установить ту же задачу для работы, а также частные г = у. в То есть

возникает вопрос о том, как узнать производные u и u от 2 функций u и v аргументов l и найти производные от их сумм, разностей, произведений. Частный. Решая эту задачу, вы получаете набор правил. ♦) И позже МП-к- лира-Р — ^ = 1. А * — О А * Т. Тебе нужно это сделать memorize. To отличите их от уже выведенных формул, пронумеровав эти правила римскими цифрами. Итак, пусть и v —

2 функции аргументов x с дифференциалом if и r 1.Производная от суммы. скажем, y = u + V. найти y. исправить x. тогда обе функции u и v фиксированы, так что u » и Далее рассмотрим новое значение аргумента. Наши отношения приобретают новый смысл: a-j-Di, r> -} — Dg>. у Дю =(у-{- Ли) -} — (Р? Генеральный директор.)> Когда

вы вычитаете、 Откуда Du_Ad, Ар Затем установите Dx в значение zero. By определение производных инструментов llmJW. lJm где (на основе правил об ограничении сумм) Илум Так что Г = Я’ — | — Г /или (О Производная от суммы будет равна сумме производных членов. Производная от разности Ил. Установлен также! Что?! Иначе говоря (И) (У-МВ = у> — ТФ、 То есть производная от разности равна разнице от производной. III. производная от plonsing. Повторите

тот же вывод для функции г = п-в、 Мы доберемся до первого г — {- ды =(и уу) (в + БВ)= УФ-4-а <у•^ + к• & + AI и• Откуда Ай = D и * в-Ф-и * ^ в * ^ ТФ И> Ду Ди, Ди, Ди! * Мы дойдем до предела.、 / rrrtv + tttf + ТФ. О. Здесь я воспользовался тем, что Д; — * 0 имеет Дг > -* 0.Is это правда? Имеет производную x/, и таким образом v является непрерывной функцией x. So … (III) (uthy = у * у- \ — СЧ、 То есть производная

от произведения равна производной от фактора 1 и Фактора 2, а произведение производной от фактора 2 и фактора 1.Образцы. Если у=} / — Х Sin х、 И затем… Г = — ^ sinjc + ух».Cos x. 2Vx 1 IV. удаление постоянных факторов по знаку производной. Если один из факторов постоянен, рассмотрим важный частный случай дифференциации продукта. 1. пусть y = Cu. C-это константа. Если вы используете

предыдущее выражение, оно выглядит следующим образом Г = КР + Заг. Но C = 0, so/ = Cu’, или (ВНУТРИВЕННЫЙ) (СИ) ’= СИ’. Коэффициенты константы могут быть удалены знаком производной. V. дифференциация продукта по 3 факторам. Позвольте мне. Г = ПА、 Где W является функцией аргумента X с производной π и пытается найти/. Для этого запишите функцию y = uvw следующим образом: y =

(uv) w и примените к ней правило III. И затем… г =(uthy ж » Λy =(т / в + УФ) Вт(ИТВ) в / Т = tfvw + УБ / Ш-1-па \ Или Откуда Иначе говоря (па)’ = у ’Фольксваген-Джей-УФ’ ж — [- УВН /. Точно так же (trowzj = uvwz-\ — м / Тип WZ- \ — uvze / з-Джей-ИРМ /. Итак, чтобы получить производную произведения любого числа функций, нужно умножить производную первого фактора на произведение всех остальных функций, а затем умножить производную второго фактора на все остальные

произведения и так далее, и прибавить произведение результата к последней функции. Ви. Производные частные. Куда нам еще идти? И R » является функцией аргумента X с производными и Х/.Поправка дифференциальной точки x, u, v, y =также Исправлено. дайте X инкрементный топор. Это приводит к тому, что u, v и y получают

приращения A и Av, Av соответственно. С (В) И затем… Л _ г-Ф-АС _ _ АС) п-с (п-ф-АП) Ai » П-и ад В п + АП В (У-Ф-АП) в(п-АП) п Построение отношений А A_y _ ах°с U ВХ АЕК(п-(- АП) п Переместите Ax в положение 0.Затем(используя тот факт, что a * o — * 0) 。 Ау у пыта-Axfбыл Так… Производной от самой дроби является дробь, знаменатель которой равен квадрату исходного знаменателя. Его числитель является производной от исходного числителя,

умноженной на производную от исходного знаменателя без исходного числителя. Вернемся далее к выводу дифференциальных уравнений. в N°6.Производная тангенс Н котангенс. допустим, что J> = tgje. И затем… Соевый соус* И он основан на правилах дробной производной (правило VI) потому что Х в COS х-Sin х (- греха

младший) соѕ Х1 х Соевый * х — \ — грех’jc я COS * X C06 * X Так… (7 )) Один потому что Мы также получаем производную функции y = cigx = — r грех * * sin1 ** 9Задача * y — это f (z), z=CP (x). Предположим, что у нас есть производная y’Z=f’(z)и z*=0 стремится быть z’AXT АГ И 4У’ Что касается первого кофактора^ -, я хотел бы подумать об этом По аналогичным причинам существует тенденция U’*, но это

не очевидно напрямую. На самом деле, в конце концов И не дают *--0, но все равно, мало С помощью суждений можно преодолеть трудности. То есть, поскольку I является функцией аргумента x с производной r, это означает, что эта функция непрерывна. И затем А то.# Im. Да, 0. = Оправы Дециграмм Предельный продукт равняется предельному продукту, так как ДХ->-0. Ду Ду ДГ 9、

Окончательно (VII в) ух = УГ-на ZX. Таким образом, производная комплексной функции по отношению к независимой переменной равна ее производной по отношению к промежуточной переменной, умноженной на производную промежуточной переменной по отношению к независимой переменной. Замечание. если вы помните, что yx-это скорость изменения j / j на x, то правила

цепочки полностью clear. In факт, когда y изменяется в 2 раза быстрее скорости z, а z изменяется в 3 раза быстрее скорости x、 y’ZH = 2, zx = 3. В то же время ясно, что y изменяется в 6 раз быстрее x, то есть y’x = 6.И так оно и есть.、 г ’х = 6 = 2.3 = г’ т. з’х. Образцы. 1) Синс, а з = г-х*, г = со $ з * 2 Вау. грех Х-Х соя х Ш? Икс 2) если y = \ nz, z = tgx,= 3) если y = z\, yx =нет В приведенном выше примере промежуточная переменная

задается с самого начала. В следующем примере в процессе решения вводится промежуточная переменная. 4) y = нет.*. найти «г»). установите z = tgx, y = 3 * М-да-а ^. Здесь, чтобы соединить z с tgx **и, наконец, ( * ) Поскольку условие не указывает никаких переменных, кроме x и y, оно просто записывает/вместо mm и y’L. **)В Примере 1-3 эта подстановка не была выполнена, поскольку в условии появилась

переменная g. б)у = VBx по * + Х3%+ 8х-2. найти y. Если 2R = blg8-f-Zag1-2, Y-Yz и = + + Или 15jc’+ 6 * + 8 Y 2U5x * + ’ ZHl + 8dg-2 * 6) y = cos1x. найти y. з = cosx, затем-5cos4•г = ЗЗ ух = спальня 4 * (- Sin х \и у = Sin хп. В следующем примере, введение промежуточных переменных происходит в голове. 7)г = = грех Е , Г = ко. Обычно они так и делают.

То есть, не выписывайте промежуточные переменные. До сих пор мы рассматривали случай, когда y зависит от x через 1 промежуточный аргумент z. In практика, может быть большое количество промежуточных аргументов Один. Например、 г = г грех (в*). если грех(в *)= Z, то у = УИ.、 зет * остается найти z’x. однако здесь z-сложная функция x, и чтобы снова найти zx, нужно применить

правило цепочки. То есть, если вы установите 1ndr = U, вы получите з = Синт、 На ZX = З ’У•и Х = COS и * Й — = соѕ(п х)•. Наконец. 1/, ч 1 УГ= -.. потому что(ЛН ) 2 в грех (В Н) в ’ Как уже указывалось, обычно средний аргумент не выписывается, а его введение происходит в голове. Это позволит избежать введения большого количества различных символов. То есть буква z должна указывать на что-то другое в последовательности. 2 й грех(Ла х) Образцы. г = тге ^

х найдите y. (мысленно! представьте себе y, что означает e ^в z и записывается в виде tgz. потому что интерьер * Косс * (чтобы найти e ^ Y, нам нужно ввести z again. In в этом случае z уже показывает новое количество kx. (ev’y =(e% = S. m!=.- Л.- И затем В3-я Год= — Л * 5 2К *」 В некоторых тренировках использование этой техники не вызывает проблем, и результаты дифференцировки сразу фиксируются. Например、 В [cos (x)- / — g + 1) 1. И затем… г ^ Св&ЛК +

л)я-+ * + 01 +«х» Или т.- + * + 01 (I * + » X Или г == 4te іх *)Т И затем… / = 4 < * < * • * > в 4-х- ^ салат ромэн’ () Как объясняется здесь, студенты должны привыкнуть к дифференциации. Чтобы не запутаться в сложных случаях, мы рекомендуем следующие правила: Если дифференцирующая функция является результатом ряда действий над аргументом x, то результат всех этих действий, кроме

последнего, должен интерпретироваться как промежуточный аргумент Z. например、 г = тгл / rsin 、 Затем) z = tg Y в грехе x * ) При расчете y-последняя акция КубИ как я могу это сделать? cl * «- К Икс з = ctgf Используйте шаги выше, чтобы решить некоторые более сложные примеры. _j _j 2дж 1) если y = igVIn, то Y = −77==.

тг(1А). 1P cos1 * 2)Если J ^ ln6sin*, г = 6Jn, грех *—^ соз . 3) Если j / = ect^, y = e 1 * 1 я не уверен. 4 КТГ ’• 4)^ = 2 ВКТ», n ЭЛН *、 / ^ 2 VctflnilD * 1n2 — — — -. -’ потому что Джей Си. ’2У CLG в грехе л: Эйн’ lnsinx грех * б)у =случае, потому что TG1 альтернатор® — sintg% е^) ztg по е%^ «Мне 3 года» yssScOS ’ tg’e потому что. в N°10.Обратные

тригонометрические функции и их функции derivatives. It остается рассмотреть так называемые обратные тригонометрические функции, чтобы закончить исследование задачи дифференцирования основных функций. Запомните это определение вкратце. I. знак дуги. Угол, при котором

определенный синус равен определенному числу m%, называется дуговым синусом этого числа m и представлен дуговым синусом/π. Y’X Следовательно, равенство Дуга sin m = a полностью эквивалентна грех а = т. Образцы. Что такое Arc sin y? По определению арксинуса ^ — = = 30°=〜, вычислить arcsin〜=

150°=или арксинуса г = 390°, или арксинуса г = 510° sin 30°= y, sin 150°= — j и др. Таким образом, для m, удовлетворяющего неравенству −1 ^ М ^ 1 Существует бесконечное число углов a Т = грех я Тогда символ Арксин т. Число значений бесконечно.1 угла a с фиксированным синусом m для удовлетворения неравенства (Такие ракурсы уникальны!), Называемое главным значением

дуги thin т, обозначается дугой thin т. Этот последний символ уже есть unique. So, равенство. a = знак дуги t Равное равенство грех ОС = =и И равенство. a = знак дуги t Равный системе равенства грех = Т И неравенство * * * —2 ′ младший * Подобный этому вычислить arcsin у = 30°= вычислить arcsin 0 = 0, вычислить arcsin 1 = 90°= С другой стороны、 Arcsin 0 = 0, Arcsin 0 = w, Arcsin 0 = — 3ir и т. д.

Arcsin 1 = 90°, Arcsin 1 =-270°, Arcsin 1 = 450°и т. д. II. символ Arccos m указывает на один из бесчисленных углов с определенным Косинусом/ i. конечно. Из этих углов удовлетворяют неравенству Называется главным значением Arccos m и представляется arccos m. следовательно, равенство а = arccos Т Равное равенство потому что = / у И равенство. а = arccos Т Равный системе равенства

потому что А = Т И неравенства O ^ a ^ — rc. The remark. It может удивить читателя, почему неравенство, используемое для акцентирования основного значения Косинуса дуги, не совпадает с тем, что для синуса дуги. Факты(как видно из рисунка 130) Углы AOM и AoM \находятся между-y и — {- y, такие же, как 1 Косинус (равный отношению отрезка OK к радиусу).Следовательно,

система равенства потому что 01 = з И неравенство * * — Т * Это не дает четкого определения угла a (не говоря уже о том, что в диапазоне между-^и-f вы не можете найти углов вообще с отрицательными косинусами).Наоборот, система отношений потому что А = Т, 0 (for-1 ^ m ^ 1) дает такое определение. Образцы. Arccos ^ = 30°=£и Arccos =-30°= — ^ {оба угла-y и — {- y! И Arccos =

330°etc в тоже время arccos ^ = 30°= |-、 То есть символ arccos указывает на один угол. Аналогично, arccos (-1)= 180°= *. Как и было сказано, Arctg m указывает один из углов A для удовлетворения отношения. Тан <х = F и И 1 из них удовлетворяет неравенству * / в * arctg Т*). Наконец, arcctg / i — это (одиночный) угол ots, который удовлетворяет обоим соотношениям. ctga = / Щ, 0 <а <СК、 Arcctgm

является одним из углов, которые удовлетворяют только первому соотношению этих отношений. Далее мы переходим к задаче дифференциальной обратной тригонометрии function. As в результате получаем еще 4 дифференциальные формулы. Эти дифференциальные формулы вместе с 12 формулами,

полученными выше, должны быть запомнены. производное от arcslnx. Позвольте мне. г =дуги sinjc、 И затем… грех. у = Х. Это последнее равенство является тождеством о x, потому что оно содержит любой x (удовлетворяет неравенству-l ^ je ^ l), если оно точно означает arcsinx. • ) Чтобы подчеркнуть основное значение арктангенса, можно увидеть, что неравенство-Y >•/ = 1. Отсюда ^

грех г * * ) Этот вывод (и следующие 3) не является строгим. существование y ’ предполагается заранее. Этот результат выражается как x. sina_y cos’J и позже Н данные = х \ тогда _ с! НГ = в 1-ХЕ. Радикалу дается знак Значение arccos *удовлетворяет неравенству Да. И знак такого угла не отрицательный,

а синюшный ^ O. So Y = 9 или = икс. производная от arctgjc. пусть y = arctg x. тогда мы различаем это тождество относительно x. Или Экспресс от y до x: год= Так… 1/1 у = COS ы. 1-1 1 + ТГ » г-’ Производное arcctgx. г = arcctgjc. И затем… в TTY = x. Это тождество различается по отношению к X. Отсюда выраженный в X:/ = 6 ярмо Y = — sin4j>. 1-1. −1 cosec ’г л + КТГ’ г Так… Образцы. 1 \ с ЛН * х 1) случай y-j、 арксинуса х 2 в x-arcsin dg-lne x * 1 х yjzrp Год=

арксинуса » х 2) если y = e «» *% v * t г = е * РКИ *%^•5 arctg4 / * .- ^. 3) если y = arccos1 в(3jc-f-2)、 Y = B arccos1 In (Zdr + 2). 1 — * — ^ — ^ — м * 3 4 1 ′ — 1n «(Zlg + 2)3x + 2 n°n. частный случай дифференцирования I. найти производную функции Г = logiinxtg*. Поскольку ни одно из полученных дифференциальных уравнений не применимо здесь напрямую, мы используем определение логарифма для

преобразования уравнения. И затем… (sinjc) с V = tgjc. * Это уравнение логарифмически основано на e. В случае в грехе йк = в ТГ йк. Отсюда тг * в= — — -. Грех Х 7 Теперь все понятно. То есть, если вы применяете правило дробной производной、 1 1. 。 и… меня. Любая функция в форме также будет выделена г = \ ogvu、 Где v задается функцией x. II. ^ =(sin jc) ercte *. находим y. начнем с равенства. И затем… Iny = арктан x в грехе X. Последнее

уравнение дифференцируемо относительно x. при применении правила цепочки、 7 г = upFln ситл * + аркт& * ЖТcos Отсюда Г = + arctg * * КГН х) (грех xytct * х• Этот метод позволяет различать особенности формы у = у°9 Где V-функция от X. Примеры. 1) если y = журнал, потому что Х, ху = соѕ х. Так, в ЛН = 1Н соѕ х в COS * А если сделать производную от дроби、 — Грех*. в соевых бобах потому что.

_ * В1 * 2) Если j> =(arctg)^,\ ny = Vx \ arctg, откуда Один £ = ЛН arctS * + в * ТТ ^ Т• y 2 y * 6 1 arctg * 1 + * 1 и напоследок В заключение, цитата! Таблица всех формул и правил дифференцирования, которые мы вывели. Формула 1.(г) ’ = 0 2.(ху = 1 3.(д^) ’ = AX, с°-1 5.(грех-

младший) ’ = Я 6.(ведь ЛГ) ’ = — Sin х 7,0 г *> ’ 9.(0х) ’= Ox в о Это правда? И.(У- | -Т/) ’ = машины ТТ4-я / Второй. (у-уу = у ’-в’ Раздел III. (увы= ЗУ в + УФ ’ ИЖ. (КУИ = КР ’ Дифференцирование 10.(6х) ’ = ех 11.( * * ) = 1 13.(арксинуса х)’ = 14.(arccos х) ’ = — р — = л = р- / 1-л » 15.(arclg 16.(arcctg х)’ = Дифференцирование В.(па) ’= у ’Фольксваген-\ — УФ-во — \ — uxmf(Ф)’ ЛК-0-2

Смотрите также:

Предмет высшая математика

Функция Дифференциал
Производная Производные и дифференциалы высших порядков