Для связи в whatsapp +905441085890

Теорема Эйлера

Теорема Эйлера

Рассмотрим самый общий случай движения твердого тела и докажем теорему, принадлежащую Эйлеру, о распределении скоростей в твердом теле при произвольном движении. Теорема. Произвольное мгновенное движение твердого тела в любой момент времени может быть представлено как сумма двух мгновенных движений: одного мгновенно-поступательного и одного мгновенно-вращательного. Доказательство. Будем рассматривать движение твердого тела относительно системы осей Теорема Эйлера (рис. 48). С твердым телом свяжем жестко другую систему осей Теорема Эйлера относительно которой оно
не совершает движения. Тогда движение твердого тела будет полностью определяться движением подвижной системы координат Теорема Эйлера Выберем произвольную точку М твердого тела и рассмотрим ее движение относительно системы осей Теорема Эйлера Координаты точки М в неподвижной системе отсчета обозначим через Теорема Эйлера а ее координаты в системе, связанной с твердым телом через — Теорема Эйлера Через Теорема Эйлера обозначим координаты точки Теорема Эйлера Положение подвижной системы координат определяется положением точки Теорема Эйлера и направляющими косинусами углов между осями подвижной и неподвижной систем координат. Эти направляющие косинусы можно задать таблицей:

Теорема Эйлера

Координаты Теорема Эйлераточки М связаны с ее координатами Теорема Эйлера
известными формулами преобразования координат

Теорема Эйлера

Проекции скорости точки на неподвижные оси координат получим,
дифференцируя координаты Теорема Эйлера по времени,

Теорема Эйлера

Чтобы придать формулам более симметричный вид, рассмотрим
сначала проекции вектора абсолютной скорости точки М на
подвижные оси Теорема Эйлера Эти проекции найдем из уравнений

Теорема Эйлера

которые приводят к следующей формуле:

Теорема Эйлера

Аналогичным образом можно вывести формулы для Теорема Эйлера
Дифференцируя тождественное соотношение, связывающее на-
направляющие косинусы Теорема Эйлера

Теорема Эйлера

получим

Теорема Эйлера

Рассмотрим далее косинусы углов между подвижными осями координат

Теорема Эйлера

Дифференцируя эти соотношения по времени, приходим к следующему результату:

Теорема Эйлера

Проекции скорости точки М на оси Теорема Эйлера запишутся в виде

Теорема Эйлера

(Последние два равенства легко получаются из первого циклической перестановкой индексов.) Введем единичные векторы Теорема Эйлера
направленные соответственно по осям Теорема Эйлера Тогда вектор v
скорости точки М можно представить как сумму трех векторов

Теорема Эйлера

где вектор Теорема Эйлера имеет проекции на неподвижные оси Теорема ЭйлераТеорема Эйлера
Тогда для проекций скорости получим

Теорема Эйлера

а уравнение винтовой оси в неподвижной системе координат Теорема Эйлера
приобретает вид

Теорема Эйлера

Теорема Эйлера

Уравнения Теорема Эйлера определяют одну и ту же прямую линию— винтовую ось. Но при движении твердого тела мгновенное
распределение скоростей непрерывно меняется со временем. При
этом изменяются величины Теорема Эйлера При непрерывном изменении
коэффициентов уравнения Теорема Эйлера в каждый следующий момент
будут вообще определять уже другую прямую. Геометрическое место мгновенных винтовых осей в неподвижном пространстве Теорема Эйлера
называют неподвижным аксоидом, а геометрическое место
мгновенных винтовых осей, определенных относительно системы
отсчета Теорема Эйлера — подвижным аксоидом. Эти геометрические места (аксоиды) представляют собой линейчатые поверхности, имеющие в каждый момент по меньшей мере одну общую прямую — мгновенную винтовую ось. Покажем, что подвижный и неподвижный аксоиды имеют общую соприкасающуюся плоскость, проходящую через мгновенную винтовую ось. В самом деле, пусть неподвижный аксоид Теорема Эйлера и Подвижный аксоид Теорема Эйлера имеют общую винтовую ось Теорема Эйлера (рис. 50).

Рассмотрим движение некоторой точки М, остающейся все время на
винтовой оси. Пусть S — траектория этой точки на неподвижном
аксоиде X и Теорема Эйлера — траектория точки М на подвижном аксоиде Теорема Эйлера
Абсолютная скорость Теорема Эйлера точки М направлена по касательной к абсолютной траектории точки М. Относительная скорость vr на- направлена по касательной к относительной траектории точки. Переносная скорость — это скорость точки подвижного аксоида, совпадающей в данный момент с точкой М. Но эта точка лежит на винтовой оси, а потому и переносная скорость Теорема Эйлера направлена вдоль
винтовой оси. Касательная плоскость к неподвижному аксоиду
будет определяться векторами Теорема Эйлера а касательная плоскость к
подвижному аксоиду — векторами Теорема Эйлера Но по теореме о сложении скоростей имеем

Теорема Эйлера

т. е. вектор Теорема Эйлера лежит в касательной плоскости к подвижному аксоду, а следовательно, касательные плоскости совпадают. Непрерыв-ное движение твердого тела можно теперь представить как
качение подвижного аксоида Теорема Эйлера по неподвижному аксоиду Теорема Эйлера с
проскальзыванием вдоль мгновенной винтовой оси.

Эта лекция взята со страницы, где размещены все лекции по предмету теоретическая механика:

Предмет теоретическая механика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Общий случай сложения мгновенно-поступательных и мгновенно-вращательных движений твердого тела. Непрерывное движение твердого тела.
Мгновенно-винтовое движение твердого тела
Мгновенное движение твердого тела с одной неподвижной точкой
Плоскопараллельное движение твердого тела