Оглавление:
Теорема Лиувилля в физике
- Теорема Лиувилля. Для геометрической интерпретации механических явлений Во многих случаях так называемая концепция фазового пространства используется в качестве пространства для измерения 2 секунд на осях координат.
Значение s представляет собой обобщенные координаты и s Импульс этой механической системы. Каждая точка в этом пространстве соответствует определенному состоянию системы. Когда система движется, фазовая точка, которая представляет ее В топологическом пространстве соответствующий ряд Фазовая орбита.
полученный в определенной области фазового пространства и представляющий Людмила Фирмаль
Продукт дифференциации dV = dqi … dqs dpi … dps Его можно рассматривать как «элемент объема» фазового пространства. Далее рассмотрим интеграл f df, его объем.
Эта величина указывает на инвариантную характеристику относительно канонического преобразования. Выполните нормальное преобразование из переменных p и q Объем соответствующей области переменных P, Q, пробелов p, q и P, Q одинаков. / • / dqi .. .dqsdpi .. .dps = J ..JdQi .. .dQsdP \ .. .dPs. (46.1)
- Как известно, множественные преобразования целочисленных переменных выполняются по формуле / • / dQi … Использовать IQS dPi … dPs = I Ddqi … dqs dpi … dpSj где _d (Q 1? •••? Q s, Pi) •••; Ps) 2) d (qu …, qs, pi, …, ps) Существует так называемая якобианская трансформация.
Поэтому доказательство теоремы (46.1) доказывает, что каноническое преобразование якобиана равно 1. D = 1 (46,3) Используйте известные характеристики Якобиана. Я хочу относиться к ним как к дроби. «Разделение числителя и знаменателя» d (qi, …, qSj Pi, …, Ps), Мы получаем JJ d (Ql, ••? Qs; Pi ,, Ps) j d (qi, ..? QsiPh .. IPs) d (q1, …, qs, P1, …, Ps) / d (q1, …, qs, P1, …, Ps) ‘
одно и то же пропущенное значение считается константой Людмила Фирмаль
Согласно другому известному правилу, якобиан Значения «числитель» и «знаменатель» одинаковы, и якобиан имеет небольшое количество переменных. Кроме того, поскольку существуют все производные, . так D) _ / & (Ql, ••? Qs) \ j J & (Pl •••• iPs) \ / d / 2r \ \ 0 {qi, …, qs) / p = const / \ W …… p. ) J q = Побережье • ^
Рассмотрим якобиан, стоящий в числителе этой формулы. По определению это элемент dQi / dqk (i-я строка и Column). Каноническое преобразование выражается следующим образом с использованием генераторной функции Φ (q, P) в виде (45.8). dQj = d2F dqk dqkdPi ‘ Точно так же мы можем видеть, что r является k-м элементом определителя.
Знаменатель (46.5) формулы равен ®®. Это значит Oqiopk Оба детерминанта отличаются только заменой строк столбцами, и наоборот. Следовательно, поскольку они равны друг другу, соотношение (46.5) при необходимости равно единице.
Представьте, что каждая точка в определенной части фазового пространства движется со временем Рассмотрено уравнение движения механической системы. Это перемещает весь раздел. При этом громкость не меняется. / dV = const (46,6) Это утверждение (так называемая теорема Лиувилля)
Непосредственно вытекает из инвариантности фазового объема при каноническом преобразовании и того факта, что точное изменение p и q во время движения можно рассматривать как каноническое преобразование (как показано в конце предыдущего раздела). вы.
Вы можете доказать инвариант точно таким же образом Интегрирующая антенна //? //// Ј dqidpi dqi dpi dqk dpk, Интеграция осуществляется в соответствии с двумя Двумерное многообразие в топологическом пространстве, такое как 3.
Смотрите также:
| Принцип Мопертюи в физике | Уравнение Гамильтона-Якоби |
| Канонические преобразования в физике | Разделение переменных в физике |
Если вам потребуется помощь по физике вы всегда можете написать мне в whatsapp.
