Оглавление:
Теорема Лиувилля
- Если их описать с помощью канонических сопряженных переменных 5 «и p», то можно сформулировать теорему Людмилы. Прежде всего, мы рассмотрим формулировку простейшего случая системы с 1 степенью свободы для линейного осциллятора. Предположим, что момент t-0 имеет участок, где на фазовой плоскости находятся некоторые (непрерывные) заданные точки изображения системы. При перемещении этот сайт, очевидно, будет двигаться и деформироваться.
Однако размер (площадь) не изменяется. Фактически координаты фазовых точек этого участка при перемещении преобразуются из q°, p в q, p согласно уравнению (1.9).Это преобразование может быть представлено в виде комбинации из 3 преобразований. 1) D’, переход от p°К x, y： — д° (2.1） То есть все фигуры в плоскости вытянуты в направлении оси продольной оси. 2) переход от x, y к x’, y’.Угол<р = < от： х-х с COS <р + г грех <п, г ’—х Sin ф + г соз Ф; (2.2） 3) переход от x, y ’к q, p путем сжатия направления естественной ординаты po： м-х’, оплатить’. (2.3） 2) даже если вы повернетесь, площадь не изменится. Изменение площади при сжатии 3)и растяжении 1) взаимно компенсируются.
Приняв за постулат невозможность процесса Томсона-Планка, можно доказать, что процесс Клаузиуса невозможен, и наоборот, из невозможности процесса Клаузиуса следует, что процесс Томсона-Планка также невозможен. Людмила Фирмаль
Таким образом, размер области останется прежним, но форма области будет меняться, вообще говоря[13!。 Далее рассмотрим теорему Лиувилля для общего cases. It формулируется следующим образом. Величина 2n мерного объема, занимаемого непрерывным набором фазовых точек в определенный момент времени, не изменяется в процессе движения. В первый момент времени t = 0 фазовая точка заполняет несколько областей 9, фазовое пространство непрерывно.
Фазовый объем G фазы этой области равен Интегралу элементов фазового пространства этой области. С, _(ф ДФДК -. ’З вставить. Кроме того, dq°dp⁰= <М°. 。 .ДФ. Фазовые точки ряда систем движутся, а их координаты и импульс изменяются с течением времени. time. At время t, точка находится в некоторой области 9ₗₜ.9 определяется, если каждая из его точек(d°, p ’)заменяется на (d, p) в соответствии с Интегралом уравнения движения (1.2).Объем области 9 Г₍= Jpgdp. Си. (2.4)） (2.5） .
Теорема Лиувилля утверждает, что G,= G. прежде чем приступить к доказательству, обратите внимание, что движение точки фазы можно уподобить движению частиц, взвешенных в жидкости, или движению краски, распределенной в жидкости (с непрерывным распределением), как показано выше. Поэтому можно считать, что движение, рассматриваемое в теореме Львова с этой точки зрения, происходит в несжимаемой жидкости. Это связано с тем, что перемещение значения G не изменяется (при условии, что этот объем заполнен краской).
Удовлетворяет уравнению Это состояние есть.. При перемещении Тома Координатные уравнения Джи, Привет. ₽ , = х» ₊ ₁ >、 (2.6)и соответствует равнозначному значению расхождения фазовых скоростей. Это государство Да. Вливается Ношение фиксатора： Есть условия< (2.12） Тогда мы обозначим его в соответствии с (1.1), то есть уравнением Гамильтона. 0 (0-1.И, по-видимому, доказаны теоремы C,= Co и T. В обозначении Интеграл движения(1.2) может быть записан как:** = / (?………………………… ………………(2.13） 2P заказ, здесь Определитель D (t)= Det («<») является определителем eⱼA= SXjaX ^ t, k = i,…, 2Н.
- Во-первых, докажите, что определитель 0(0 не зависит от этого).Не различает я по известным правилам. ДД АО датк Второзаконие.«Зи дал ДТ■ (2.14） dldt-это по сути Мы представим результаты, полученные в (2.14). Однако из-за (2.9), потому что правая сторона равна нулю、 ОД (2.17） (2.18） (2.19） (2.20） O не зависит от T. чтобы определить O, достаточно найти значение i-0.Для атома, элементы определителя равны Таким образом, это 0(0) −1.oo существует 0(0-1) для любого t. Вот еще один простой пример. Рассмотрим упругое воздействие 2-х шариков, движущихся по прямой (и не сходящих с нее).
Пусть масса шара равна m и M, импульс p°и P°до столкновения и импульс p и P после столкновения. п°+ п ’= п + п,(2.21） Представляет собой сохранение и долю общего импульса (2.21 а） Выразите закон сохранения Erzia. Отныне, как известно из механики, p и P связаны с p°и P°линейной однородной зависимостью. Рассмотрим 2 точки непосредственно до и после удара. Тогда в Формуле для объема фазы координаты этих моментов равны q° — q, Q° — Q Равенство сохраняется. Й <Ш、 И осталось только это показать (2.22）.
Постулат утверждает, что такой процесс невозможен. Теплота может переходить самопроизвольно только в одном направлении, от более нагретого тела к менее нагретому, и такой процесс является необратимым. Людмила Фирмаль
Импульсы p и P можно считать Декартовыми координатами точек на плоскости. П ’- 1 / МХ°, Р° — = му, п — » файл VMX, Р = умы, вы можете себе представить переход от Р°и П°П И П И П в результате следующего преобразования. 1) преобразование из p°и i в x°и y： п°-НХ \ П° — \1му(2.23） Это связано с изменением масштаба времен Ut (сжатие произвольных чисел). IM время вдоль оси абсцисс и ординат. 2) преобразование из x’, y ’ в x, y. с помощью этого преобразования, (2.21) и (2.21 a), вы получаете: x «u u., UT₁» um umu. Ut ymⱼ / (2.24）.
Первое из 2 отношений показывает, что линейное преобразование ортогонально(по 2-му отношению отношение является преобразованием, потому что семейство линий UT1°+ VL / y » = ■ = const преобразуется в себя. Отражение от прямой линии, перпендикулярной тому же семейству рептилий). (2.25） 3) преобразование из x, y в p и P： ХС / 1Т, г-р / 1М Это 1Т складка по абсциссе и 1 м складка по ординате. 2) площадь фигуры на плоскости импульса не изменяется при преобразовании за счет ортогонального эффекта.
1) При преобразовании, ясно, 1/1 ТМ раз, 3) при преобразовании, 1 ТМ раз, площадь меняется. Поэтому в результате всех этих преобразований площадь рисунка остается неизменной. То есть она полностью совпадает с теоремой Львова. Эффективность теоремы Львова значительно упрощает многие выводы статистической теории. Поэтому в статистической физике канонические сопряженные переменные dir используются почти исключительно. Это связано с тем, что данная теорема выражается в виде, описанном только в этих переменных.
Также отметим, что величина фазового объема инвариантна относительно преобразования координат (и соответствующего преобразования импульса).Отметим только, что это положение, по сути, уже доказано расчетами, представленными для доказательства теоремы Людмилы (без доказательства).на практике, как известно, каноническое преобразование оленя может быть представлено как совокупность бесконечно малых преобразований, удовлетворяющих уравнению Гамильтона, и Т (например, роль угла поворота координатных осей).Для преобразования точно такого же типа, как преобразования p и q, объем фазы не изменяется при движении системы в соответствии с теоремой любиля[14].
Смотрите также:
| Химическое равновесие в смеси идеальных газон | Формальное и физическое понятие вероятности |
| Уравнения Гамильтона. Фазовое пространство | Совокупности систем |
