Для связи в whatsapp +905441085890

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Пусть материальная точка Теорема об изменении кинетической энергии точки массы Теорема об изменении кинетической энергии точки под действием приложенной к ней силы Теорема об изменении кинетической энергии точки движется по некоторой траектории, перемещаясь из наложения Теорема об изменении кинетической энергии точки в положение Теорема об изменении кинетической энергии точки (рис. 210).

Согласно основному уравнению (106) динамики точки Теорема об изменении кинетической энергии точки Спроектировав обе части этого векторного уравнения на направление скорости Теорема об изменении кинетической энергии точки точки Теорема об изменении кинетической энергии точки умножив их на одни и тот же скалярный множитель Теорема об изменении кинетической энергии точки (элементарное перемещение точки), будем иметь:

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Но как известно из кинематики,

Теорема об изменении кинетической энергии точки

правая же часть равенства (I) представляет собой выражение элементарной работы силы:

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Подставляя значения (II) и (III) в равенство (I), получим:

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Так как

Теорема об изменении кинетической энергии точки

мы приходим к равенству

Теорема об изменении кинетической энергии точки
Теорема об изменении кинетической энергии точки

Интегрируя обе части последнего равенства в соответствующих пределах и обозначая через Теорема об изменении кинетической энергии точки модуль скорости в начальный момент, когда точка занимает на траектории положение Теорема об изменении кинетической энергии точки, и через Теорема об изменении кинетической энергии точки — модуль скорости точки в момент, когда она занимает положение Теорема об изменении кинетической энергии точки, находим:

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Скалярная величина Теорема об изменении кинетической энергии точки, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости, называется кинетической энергией точки.

Следовательно, уравнение (205), выражающее собой теорему об изменении кинетической энергии точки, можно сформулировать так:

Изменение кинетической энергии точки на некотором ее перемещении равно работе силы, действующей на точку, на том же перемещении.

Если движение материальной точки совершалось под действием не одной, а нескольких приложенных к ней сил, то под работой в уравнении (205) надо понимать работу равнодействующей этих сил.

Размерность кинетической энергии

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Таким образом, кинетическая энергия имеет ту же размерность, что и работа.

Если под действием сил сопротивления, приложенных к данной материальной точке, точка останавливается, то конечная ее скорость Теорема об изменении кинетической энергии точки равна нулю и.уравнение (205) принимает вид:

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Работа сил сопротивления всегда отрицательна, поэтому отрицательной будет и правая часть написанного выше равенства.

Теорема о кинетической энергии точки позволяет определить работу приложенных к ней сил при переходе точки из одного положения в другое и в тех случаях (переменной силы и криволинейного движения точки), когда непосредственное вычисление работы является затруднительным. Для этого надо только знать массу точки и модули ее скорости в начальном и конечном положении.

Если же, наоборот, мы имеем возможность непосредственного определения работы приложенных к точке сил, то, зная массу точки и модуль ее скорости в одном положении, легко найти, пользуясь данной теоремой, модуль скорости точки в другом положении.

Теорема о кинетической энергии точки дает наиболее простой способ решения тех задач, в которых устанавливается зависимость между действующей на точку силой, скоростью точки и пройденным ею путем.

Пример задачи:

Материальная точка массы Теорема об изменении кинетической энергии точки, привязанная нитью длиной Теорема об изменении кинетической энергии точки к неподвижной точке Теорема об изменении кинетической энергии точки (рис. 220), отведена на угол Теорема об изменении кинетической энергии точки от положения равновесия Теорема об изменении кинетической энергии точки и отпущена в точке Теорема об изменении кинетической энергии точки без начальной скорости. Определить скорость Теорема об изменении кинетической энергии точки этой точки во время ее прохождения через положение равновесия.

Решение:

По теореме об изменении кинетической энергии материальной точки

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Перемещение точки из положения Теорема об изменении кинетической энергии точки в положение Теорема об изменении кинетической энергии точки совершается под действием силы тяжести. Работа этой силы по формуле (195) равна:

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Начальная скорость точки

Теорема об изменении кинетической энергии точки

и уравнение кинетической энергии принимает вид

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Пример задачи:

Автомобиль движется со скоростью 54 км/час под уклон, угол которого Теорема об изменении кинетической энергии точки Считая силу Теорема об изменении кинетической энергии точки сопротивления от торможения равной 0,3 веса автомобиля и пренебрегая всеми другими сопротивлениями его движению,

Теорема об изменении кинетической энергии точки
Теорема об изменении кинетической энергии точки

определить, на каком расстоянии Теорема об изменении кинетической энергии точки и через сколько времени Теорема об изменении кинетической энергии точки от начала торможения автомобиль остановится.

Решение:

Автомобиль рассматриваем как материальную точку, на которую действуют (рис. 221) следующие силы: Теорема об изменении кинетической энергии точки —сила тяжести автомобиля, Теорема об изменении кинетической энергии точки — нормальная реакция дороги и Теорема об изменении кинетической энергии точки — сопротивление от торможения.

Для определения тормозного пути Теорема об изменении кинетической энергии точки применяем теорему об изменении кинетической энергии точки:

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Нам известны: начальная скорость автомобиля Теорема об изменении кинетической энергии точкиТеорема об изменении кинетической энергии точки, его конечная скорость Теорема об изменении кинетической энергии точки

Работа Теорема об изменении кинетической энергии точки равнодействующей сил, приложенных к автомобилю, равна алгебраической сумме работ составляющих сил. Работа силы тяжести равна

Теорема об изменении кинетической энергии точки

работа нормальной реакции Теорема об изменении кинетической энергии точки равна нулю, так как эта сила перпендикулярна к направлению движения автомобиля; работа силы Теорема об изменении кинетической энергии точки торможения отрицательна, так как эта сила направлена в сторону, противоположную направлению движения автомобиля, и равна

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Таким образом, работа равнодействующей

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Для данного случая уравнение изменения кинетической энергии принимает вид

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Отсюда

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Для определения времени Теорема об изменении кинетической энергии точки торможения можно воспользоваться теоремой об изменении проекции количества движения точки. Приняв направление движения за направление оси Теорема об изменении кинетической энергии точки (рис. 221), напишем уравнение (159):

Теорема об изменении кинетической энергии точки

По условиям задачи

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Так как действующие на автомобиль силы постоянны, то проекция на ось Теорема об изменении кинетической энергии точки импульса этих сил

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Таким образом, уравнение (159) принимает вид

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Теорема об изменении кинетической энергии системы

Применим установленную в предыдущем параграфе теорему об изменении кинетической энергии материальной точки к системе таких точек.

Согласно уравнению (205) для Теорема об изменении кинетической энергии точки-й точки системы будем иметь:

Теорема об изменении кинетической энергии точки

где Теорема об изменении кинетической энергии точки и Теорема об изменении кинетической энергии точки — значения кинетической энергии Теорема об изменении кинетической энергии точки-й точки соответственно в конце и в начале некоторого перемещения системы; Теорема об изменении кинетической энергии точки — работа на том же перемещении равнодействующей всех сил, действующих на данную точку.

Написав подобные равенства для всех точек системы и сложив их почленно, получаем:

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Сумма кинетических материальных точек называется энергией системы

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Равно нулю только, как доказано п § 105. рабою внутренних сил неизменяемой системы.

Теоремой об изменении кинетической энергии системы хдобно пользоваться в тех случаях, когда в число данных и искомых величин задачи входят: действующие на систему силы, перемещения (линейные и угловые) тел. «ходящих в состав системы, и скорости этих тел (также линейные или угловые).

С помощью этой теоремы можно находим, также и ускорения движущихся тел системы. Для этого составляют уравнение (207) для произвольного перемещении системы и дифференцируют по времени обе части полученного равенства.

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Теоретическая механика — задачи с решением и примерами

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Мощность силы с примером решения
Работа и мощность силы, приложенной к вращающемуся телу с примером решения
Кинетическая энергия твердого тела с примерами решения
Метод кинетостатики в теоретической механике с примерами решения