Теорема об изменении количества движения материальной точки с примерами решения

Оглавление:

Теорема об изменении количества движения материальной точки

Как известно из кинематики (§ 45), ускорение Теорема об изменении количества движения материальной точки точки равно производной от ее скорости по времени:

Подставляя это значение Теорема об изменении количества движения материальной точки в основное уравнение (106) динамики точки, будем иметь:

Производная по времени от количества движения материальной точки равна силе, действующей на точку (теорема об изменении количества движения точки в дифференциальной форме).

Разделяя переменные в уравнении (157) и интегрируя обе части его в соответствующих пределах, будем иметь:

Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно импульсу силы, действующей на точку за то же время (теорема об изменении количества движения точки в конечной векторной форме).

Если известны масса Теорема об изменении количества движения материальной точки точки и ее скорость и в начальный и в данный моменты времени, то, пользуясь равенством (158), легко построить импульс Теорема об изменении количества движения материальной точки силы, действующей на точку за соответствующий промежуток времени (рис. 184). Наоборот, если известен импульс Теорема об изменении количества движения материальной точки и начальная скорость , то можно найти скорость точки в данный момент.

Однако при решении задач обычно удобней пользоваться уравнением (158) не в векторной форме, а в координатной форме.

Проектируя обе части равенства (158) на координатные оси, будем иметь:

Изменение проекции количества движения материальной точки на какую-либо ось за некоторый промежуток времени равно проекции на ту же ось импульса силы, действующей на точку, за тот же промежуток времени (теорема об изменении проекции количества движения точки).

В случае прямолинейного движения точки теорема выражается одним из уравнений (159), если прямую, по которой движется точка, принять за соответствующую координатную ось.

«С помощью теоремы об изменении количества движения точки легко решаются задачи, в которых на точку (или на тело, движущееся поступательно) действуют постоянные силы или силы, зависящие только от времени, и когда в число заданных и искомых величин, помимо сил, действующих на точку, входят время движения и скорости точки в начале и в конце данного промежутка времени.

Пример задачи:

Тело весом Теорема об изменении количества движения материальной точки движется поступательно вверх по негладкой плоскости, наклоненной к горизонту под углом , под действием силы Теорема об изменении количества движения материальной точки , составляющей с плоскостью угол (рис. 185). Чему должен равняться модуль силы , для того чтобы через 10 сек после начала движения тело получило скорость Теорема об изменении количества движения материальной точки м/сек? Коэффициент трения .

Решение:

Поступательно движущееся тело принимаем за материальную точку Теорема об изменении количества движения материальной точки , полагая, что в ней сосредоточена вся масса тела. На нее действуют силы: — сила тяжести тела, сила , нормальная реакция Теорема об изменении количества движения материальной точки плоскости и сила трения.

Прямую, по которой движется точка Теорема об изменении количества движения материальной точки , принимаем за ось . Согласно теореме об изменении проекции количества движения точки:

Так как силы, действующие на точку, постоянны, то

Для определения нормальной реакции плоскости спроектируем все силы на ось Теорема об изменении количества движения материальной точки :

откуда

модуль силы трения

По условиям задачи

Подставляя найденные значения в уравнение (I), будем иметь:

Решая это уравнение относительно Теорема об изменении количества движения материальной точки , находим:

Подставляя данные, получим:

Пример задачи:

Молот весом Теорема об изменении количества движения материальной точки падает с высоты на поковочную болванку; деформация болванки происходит в течение . Определить среднюю величину силы давления молота на болванку.

Решение:

На молот действуют вертикальные силы: сила Теорема об изменении количества движения материальной точки тяжести и реакция болванки. Переменную, изменяющуюся в течение данного промежутка времени величину реакции болванки заменим некоторым ее средним значением Теорема об изменении количества движения материальной точки .

Примем направление движения молота (вертикально вниз) за направление оси Теорема об изменении количества движения материальной точки и применим теорему об изменении количества движения к движению молота за промежуток времени от момента его соприкосновения с болванкой до момента, когда заканчивается ее деформация и скорость молота обращается в нуль. По формуле (159)

В данном уравнении конечная скорость Теорема об изменении количества движения материальной точки молота и ее проекция равны нулю. Начальная скорость молота по известной из физики формуле и направлена вертикально вниз.

Проекция на ось Теорема об изменении количества движения материальной точки равнодействующей всех сил, действующих на молот,

Следовательно,

Подставляя эти значения в уравнение, получим:

Отсюда реакция болванки, равная по модулю искомому давлению молота, будет равна

Пример задачи:

Найти импульс равнодействующей всех сил, действующих на снаряд за время, когда он из начального положения Теорема об изменении количества движения материальной точки переходит в наивысшее положение (рис. 186). Дано: вес снаряда