Для связи в whatsapp +905441085890

Теоремы о дифференцируемых функциях

Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и прикладное значение.

Теорема 25.1 (Ролль). Если функция Теоремы о дифференцируемых функциях непрерывна на отрезке Теоремы о дифференцируемых функциях , дифференцируема на интервале Теоремы о дифференцируемых функциях и на концах отрезка принимает одинаковые значения Теоремы о дифференцируемых функциях, то найдется хотя бы одна точка Теоремы о дифференцируемых функциях, в которой производная Теоремы о дифференцируемых функциях обращается в нуль, т. е. Теоремы о дифференцируемых функциях.

Так как функция Теоремы о дифференцируемых функциях непрерывна на отрезке Теоремы о дифференцируемых функциях, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений, соответственно, Теоремы о дифференцируемых функциях и Теоремы о дифференцируемых функциях. Если Теоремы о дифференцируемых функциях, то функция Теоремы о дифференцируемых функциях постоянна на Теоремы о дифференцируемых функциях и следовательно, ее производная Теоремы о дифференцируемых функциях в любой точке отрезка Теоремы о дифференцируемых функциях.

Если Теоремы о дифференцируемых функциях, то функция достигает хотя бы одно из значений Теоремы о дифференцируемых функциях или Теоремы о дифференцируемых функциях во внутренней точке с интервала Теоремы о дифференцируемых функциях, так как Теоремы о дифференцируемых функциях.

Пусть, например, функция принимает значение Теоремы о дифференцируемых функциях в точке Теоремы о дифференцируемых функциях, т. е. Теоремы о дифференцируемых функциях. Тогда для всех Теоремы о дифференцируемых функциях выполняете соотношение

Теоремы о дифференцируемых функциях

Найдем производную Теоремы о дифференцируемых функциях в точке Теоремы о дифференцируемых функциях:

Теоремы о дифференцируемых функциях
Теоремы о дифференцируемых функциях

В силу условия (25.1) верно неравенство Теоремы о дифференцируемых функциях. Если Теоремы о дифференцируемых функциях (т. е. Теоремы о дифференцируемых функциях справа от точки Теоремы о дифференцируемых функциях), то

Теоремы о дифференцируемых функциях и поэтому Теоремы о дифференцируемых функциях

Если Теоремы о дифференцируемых функциях, то

Теоремы о дифференцируемых функциях и Теоремы о дифференцируемых функциях.

Таким образом, Теоремы о дифференцируемых функциях.

В случае, когда Теоремы о дифференцируемых функциях, доказательство аналогичное.

Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции Теоремы о дифференцируемых функциях найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси Теоремы о дифференцируемых функциях (см. рис. 139 и 140). На рисунке 141 таких точек две.

Теорема 25.2 (Коши). Если функции Теоремы о дифференцируемых функциях и Теоремы о дифференцируемых функциях непрерывны на отрезке Теоремы о дифференцируемых функциях, дифференцируемы на интервале Теоремы о дифференцируемых функциях, причем Теоремы о дифференцируемых функциях для Теоремы о дифференцируемых функциях, то найдется хотя бы одна точка Теоремы о дифференцируемых функциях такая, что выполняется равенство Теоремы о дифференцируемых функциях.

Отметим, что Теоремы о дифференцируемых функциях, так как в противном случае по теореме Ролля нашлась бы точка Теоремы о дифференцируемых функциях, такая, что Теоремы о дифференцируемых функциях, чего не может быть по условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию

Теоремы о дифференцируемых функциях

Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке Теоремы о дифференцируемых функциях и дифференцируема на интервале Теоремы о дифференцируемых функциях, так как является

линейной комбинацией функций Теоремы о дифференцируемых функциях и Теоремы о дифференцируемых функциях; на концах отрезка она принимает одинаковые значения Теоремы о дифференцируемых функциях.

На основании теоремы Ролля найдется точка Теоремы о дифференцируемых функциях такая, что Теоремы о дифференцируемых функциях. Но Теоремы о дифференцируемых функциях, следовательно,

Теоремы о дифференцируемых функциях

Отсюда следует

Теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема 25.3 (Лагранж). Если функция Теоремы о дифференцируемых функциях непрерывна на отрезке Теоремы о дифференцируемых функциях, дифференцируема на интервале Теоремы о дифференцируемых функциях, то найдется хотя бы одна точка Теоремы о дифференцируемых функциях такая, что выполняется равенство

Теоремы о дифференцируемых функциях

Решение:

Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши. Действительно, положив Теоремы о дифференцируемых функциях, находим Теоремы о дифференцируемых функциях.

Подставляя эти значения в формулу Теоремы о дифференцируемых функциях, получаем

Теоремы о дифференцируемых функциях или Теоремы о дифференцируемых функциях.

Полученную формулу называют формулой Лагранжа или формулой о конечном приращении: приращение дифференцируемой функции на отрезке Теоремы о дифференцируемых функциях равно приращению аргумента, умноженному на значение производной функции в некоторой внутренней точке этого отрезка.

Теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Запишем формулу (25.2) в виде

Теоремы о дифференцируемых функциях

где Теоремы о дифференцируемых функциях. Отношение Теоремы о дифференцируемых функциях есть угловой коэффициент секущей Теоремы о дифференцируемых функциях, а величина Теоремы о дифференцируемых функциях — угловой коэффициент касательной к кривой в точке с абсциссой Теоремы о дифференцируемых функциях.

Следовательно, геометрический смысл теоремы Лагранжа таков: па графике функции Теоремы о дифференцируемых функциях найдется точка Теоремы о дифференцируемых функциях (см. рис. 142), в которой касательная к графику функции параллельна секущей Теоремы о дифференцируемых функциях.

Следствие 25.1. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.

Пусть Теоремы о дифференцируемых функциях для Теоремы о дифференцируемых функциях. Возьмем произвольные Теоремы о дифференцируемых функциях и Теоремы о дифференцируемых функциях из Теоремы о дифференцируемых функциях и пусть Теоремы о дифференцируемых функциях. Тогда по теореме Лагранжа Теоремы о дифференцируемых функциях такая, что Теоремы о дифференцируемых функциях. Но по условию Теоремы о дифференцируемых функциях, стало быть, Теоремы о дифференцируемых функциях, где Теоремы о дифференцируемых функциях. Поэтому имеем Теоремы о дифференцируемых функциях, т. е. Теоремы о дифференцируемых функциях. А так как Теоремы о дифференцируемых функциях и Теоремы о дифференцируемых функциях — произвольные точки из интервала Теоремы о дифференцируемых функциях, то Теоремы о дифференцируемых функциях имеем Теоремы о дифференцируемых функциях.

Следствие 25.2. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Пусть Теоремы о дифференцируемых функциях при Теоремы о дифференцируемых функциях. Тогда Теоремы о дифференцируемых функциях Теоремы о дифференцируемых функциях. Следовательно, согласно следствию 25.1, функция Теоремы о дифференцируемых функциях Теоремы о дифференцируемых функциях есть постоянная, т.е. Теоремы о дифференцируемых функциях для Теоремы о дифференцируемых функциях.

Пример №25.1.

Доказать, что Теоремы о дифференцируемых функциях, где Теоремы о дифференцируемых функциях.

Решение:

Пусть Теоремы о дифференцируемых функциях. Тогда Теоремы о дифференцируемых функциях имеем Теоремы о дифференцируемых функциях. Отсюда следует, что Теоремы о дифференцируемых функциях, т.е. Теоремы о дифференцируемых функциях. Положив Теоремы о дифференцируемых функциях, находим Теоремы о дифференцируемых функциях, т. е. Теоремы о дифференцируемых функциях.

Поэтому Теоремы о дифференцируемых функциях. Это равенство выполняется и при Теоремы о дифференцируемых функциях (проверьте!).

Аналогично доказывается, что Теоремы о дифференцируемых функциях.

Формуле Лагранжа можно придать другой вид. Применив теорему Лагранжа к отрезку Теоремы о дифференцируемых функциях, будем иметь

Теоремы о дифференцируемых функциях

Каждое число Теоремы о дифференцируемых функциях можно записать в виде Теоремы о дифференцируемых функциях, где Теоремы о дифференцируемых функциях (действительно, Теоремы о дифференцируемых функциях Теоремы о дифференцируемых функциях; положим Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула (25.3) примет вид

Теоремы о дифференцируемых функциях

где Теоремы о дифференцируемых функциях.

Используя теорему Лагранжа, можно оценить точность приближенного равенства Теоремы о дифференцируемых функциях. Сделаем это, считая, что функция Теоремы о дифференцируемых функциях имеет непрерывную вторую производную Теоремы о дифференцируемых функциях:

Теоремы о дифференцируемых функциях

где Теоремы о дифференцируемых функциях (рис. 143).

Итак, Теоремы о дифференцируемых функциях. Пусть Теоремы о дифференцируемых функциях. Так как Теоремы о дифференцируемых функциях, a Теоремы о дифференцируемых функциях, то получаем оценку Теоремы о дифференцируемых функциях.

Теоремы о дифференцируемых функциях

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Дифференциалы высших порядков
Возрастание и убывание функций
Максимум и минимум функций