Оглавление:
Теплопроводность
- Анализ теории теплопроводности может быть применен только к сплошным средам, но он не учитывается при расчете процесса теплопроводности. Объект однороден и изотропен, его размер больше расстояния между молекулами. Основной задачей теплопроводности является определение температурного поля в организме. Температура нуля может быть нестабильной и stationary. In в первом случае поле, как полагают, изменится time. In в последнем случае-нет. По этому и происходит процесс Теплопроводность считается стационарной или нестационарной.
Поверхность всех точек, где температура одинакова, называется изотермической. Такие поверхности не пересекаются Среди них. Они могут быть замкнутыми или заканчиваться на границах тела. Наиболее резкое изменение температуры тела с неоднородным температурным полем наблюдается в направлении Перпендикулярно к изотермической поверхности. Градиент температуры направлен на увеличение градиента температуры t g vt = lim (dt / al) = -.
Совокупность значений плотности теплового потока во всех точках тела в определенный момент времени формирует векторное поле плотности теплового потока. Людмила Фирмаль
Так Ла — вроде около 71 Объемной производной скалярного поля является его 1 градиент. Vt=и-о, где v-символьный вектор (Гамильтонов оператор) и символ градиента (а также дивергенция и Вращения) ; v-объем, заключенный в поверхность a. Поскольку поле градиента температуры является вектором, dt rm dt, где ax-d-и » sr-координаты ко-градиента, i, j, k- Единичный вектор с направлением осей. Тепловой поток на единицу площади поверхности называется плотностью теплового потока q.
Тепловая плотность Поток может быть локальным (локальным) и поверхностным media. It характеризует интенсивность теплопередачи и представляет собой вектор, в котором направление совпадает с направлением Температура упадет. Каждая строка Точка, в которой вектор плотности теплового потока направлен тангенциально, называется линией теплового потока.
Основной Закон и тепловое уравнение экспериментально Получается, что плотность теплового потока, передаваемого температурным полем, представляет собой совокупность значений температуры во всех точках неподвижной части тела (или пространства). В определенный момент. Температурный излучатель представляет собой вектор, численно равный производной температуры в направлении, нормальном к изотермической поверхности. Тепловой поток и количество тепла Передается по любой поверхности в единицу времени.
Теплопроводность, прямо пропорциональная градиенту температуры: 3 = — xgradt = — xvt, где (2. 1), x-коэффициент Теплопроводность, которая определяется эмпирически в зависимости от состояния вещества, температуры, давления, структуры, объемного веса, пористости и влажности. Минус Указывает, что направления векторов 5 и град Т противоположны. Уравнение (2. 1) представляет собой математическое представление закона Фурье теплопроводности и величины x Характеризуя интенсивность процесса теплопередачи, температура численно равна плотности традиционного теплового потока, равной 1.
Потерянное тепло q Любой объем v в теле можно определить путем интегрирования плотности теплового потока 4 на замкнутой поверхности а, ограничивающей этот объем. Единичный вектор ориентирован перпендикулярно поверхности. G-это время. Используя формулу Остроградского-Гаусса, получаем dq, = fvgdrk v (2. 2). Термодинамика, это количество тепла возникает только под действием внутренних источников, при уменьшении внутренней энергии единицы объема тела за единицу времени Тепловая мощность q, (Вт / м3), может иметь различные физические свойства. Следовательно, с-это удельная теплоемкость тела.
Поскольку левая часть формулы (2. 2) и (2. 3) равна, следовательно Так как объем v выбирается произвольно, то потеря интегрирования означает pc ^ — » + + vg = o. (2. 4) теплопередача твердого тела осуществляется за счет теплопроводности、 Итак, рассматривая уравнение (2. 1) и соотношение v # =-v (xvt), уравнение теплопроводности принимает вид pc ^ = v (xvt) + форма. (2. 5) это уравнение представляет собой зависимость Изменение температуры во времени в определенных точках тела устанавливает связь между свойствами поля и производительностью его близлежащего источника тепла и, то есть, с этой точки Пространственные и временные изменения температуры.
Вы можете определить температурное поле твердого тела, решив тепло equation. In в этом случае целевая функция t (x, y, z, l） Формула (2. 5) должна быть соблюдена и, следовательно, должна соответствовать закону сохранения энергии. Однако, чтобы получить единственное решение уравнения (2. 5) 、 Следующие условия: 1) геометрия, в соответствии с которой задаются форма и размеры твердого тела. 2) определяется физическими характеристиками тела, тела х, С и Р, или（ 3) установить распределение температуры в теле от начального, начального момента; 4) 1-й, 2-й или Третий вид. Первый вид граничного условия определяет температуру твердой поверхности как функцию координат и времени.
Согласно ироническому условию второго рода Плотность теплового потока (или составляющая градиента температуры, перпендикулярного поверхности тела) поверхности тела в зависимости от координат и времени поверхности тела. Границы 3-е условие-задается температура жидкой или газообразной среды, окружающей твердое тело, а также закон теплообмена между объектом и рабочей средой. Аналитическое выражение Граничные условия типа 3 могут быть получены с использованием закона теплопередачи Ньютона= (2. 6). Таким образом, плотность теплового потока, передаваемого конвекцией, равна.
Поверхность твердого тела в среде пропорциональна разнице температур между поверхностью объекта (tst) и средой (tj). Коэффициент теплоотдачи а、 Поверхность. Так как количество тепла, соответствующее величине dst, должно быть доведено до поверхности тела теплопроводностью изнутри, ^ st = — x (grad, t) w (2. 7） Где, град, Т-составляющая градиента температуры, перпендикулярная поверхности тела. Если уравнять правую часть уравнения (2. 6) и (2. 7), то получим (gst — =- k (grad, t) n. (2. 8） Значения tj и a должны быть заданы в соответствии с граничными условиями типа 3. Теплопроводность в стационарном режиме л стационарного состояния в стационарном режиме (стационарные） — =0, поэтому выражение (2. 5) принимает вид v (xvt) + ^ = 0. (2. 9) расширенная форма оператора v (x vt) зависит от выбранной системы координат.
Если нет Внутренний источник тепла (или раковину) qᵥ= 0 и v (основные возможности) = О. (2. 10) неограниченной плоской и бесконечно длинного цилиндрического температурного поля Сферическая стенка при постоянных граничных условиях 1-го рода имеет размерность 1, которая может быть определена, если формула (2. 10) представлена в виде обобщения 3 из них. Существенно важный случай, d (r-xdt / dr) / dr = o, где (2. 11) r-координата. L-индекс, значение которого зависит от формы стенки. Х = Хо (1 + b»), после интегрирования формулы (2. 11) получаем r » (1 + bt) dtfdr = cj. Плоская стенка (n = 0) t + 0. 5 l7-2 = cu + c2 (2. 12) цилиндрическая (l = 1) t + o, 5lt2 = c, lnr + c2, (2. 13) сфера (n = 2) γ+ 0, 5l7-2 = — cj / r + cj (2. 14) класс стационарных задач считается qc = 0, поэтому в последних 2 случаях он равен r 0. Константы интегрирования cj и c2 могут быть получены из коэффициента теплопередачи.
Коэффициент теплопередачи, величина теплопередачи в единицу времени через единицу площади поверхности Твердый объект конвекцией при разнице температур между поверхностью объекта и средой в 1 к. Граница conditions. To для этого сначала покажем значения индексов 1 и 2 Определены координаты r и температуры t внутренней и наружной поверхностей левой и правой граничных поверхностей плоской, а также цилиндрической и сферической стенок. В соответствии с подставляя граничные значения r и t в уравнение (2. 12) — (2. 14) и принимая (для простоты) условие x = const (h = 0) из граничного условия 2 линейного типа 1 Найти значения ci и С₂ в алгебраических уравнениях (в каждом случае). Подставляя значения q и С₂ в Формулу (2. 12) — (2. 14), определим распределение температуры по всей толщине.
Каждый плоского оптического стены и сферической стены раскола^Т ’=Т₁- (Т₁-Т₂) х/б; Т =λ-[ (λ-тлн^ / gozdn ^ / Н) ; М = Л- (7 -t₂) (1 / г. -1 / Г), Д 1 / г, −1 / g₂), где (2. 15) x-текущее значение r Для плоских стен; s-толщина стенки. Закон Фурье (2. 1) позволяет рассчитать тепловой поток через каждую стенку. Следовательно, n = 0 (b = 0) dt / dr-cb dy (t, — t₂) ; (2. 16) u = 1 dt / dr = cj / r, φ= q / l = ₂ ₂ (Т₁-t₂) / [ (la) ln (r₂ / n) ], где / — длина цилиндрической стенки (Извините меня) ; qₜ-это стеночный (грубый) тепловой поток на 1 м. Для u = 2, dt / dr =С / r2q = 4n (tᵢ-t ^ / fdajd / r, — l /r₂) j. (2. 18) используйте Для Формулы (2. 16) — (2. 18) можно получить решение рассматриваемой задачи в других граничных условиях. Например, рассчитать теплопроводность! А граница цилиндрической стенки-g gg₃ РНС. 2. 1. It необходимо установить распределение температуры t при условии 3-х слойных внутренних стенок, значения ots и a₂, tl1 и t ^изнутри и снаружи.
Стенка[справочная формула (2. 8) j. (В более общем случае) коэффициент теплопроводности стенки x、0 = 1、2、3、. .предполагая, что он состоит из слоя (1 слой) с (n), 、 Согласно формулам (2 .6) и (2 .17), для каждой стойки и торцевых загов на стене система состоит из Формулы (l + 2) .е-Ма (Т, Я-Т₁) 2yag₁/; е = 2л (Т₁-Т₂) // [ (1Д₁) 1п (г₂/г₁) ]; г = 2л (Т₂-Т₃) // [ (1Д₂) в (г₃/г₂) ]; (2 .19) м = 2Н (Tfₗ+ Т»₊₁) // [ (lAₙ) ЛН (р»₊₁/ р«) ]; С==а₂ (Т₊₊1-Тж₂) 2лг₊₊Ил, Q-величина теплового потока, проходящего Слой стены; tt₂ₜ .. Th и Т ₊ ₁ ₊ ₁-температура границы слоя. Решение системы (2. 19), q значений и неизвестных tjt₂,. .ТиДжей, Теннесси .Многослойное распределение температуры Цилиндрическая стенка показана на рисунке . 2 .1 .
- Тепловой поток на единицу длины трубы. 2п (Тж / — тж₂) 1 / («IG») + £ (1д) in (R-T ₊ х/G.) + if одномерный Задача X = const, уравнение цилиндрической системы координат (2 .9) принимает камертон^ (rJ7- / fr) =-9zA .(2 .21) + _1 / (a₂^Y1) = M7 ′ j | — Ty₂), (2 .20) здесь (1 / ajn), (1 / a₂гя ₊ 1) — тепловое сопротивление теплопередачи; (1 /x ₍) in (g, ₊ x/g.) — тепловое сопротивление I-го слоя стенки; YY RN » — — — > HL+ 1-граничный радиус layer .To- Теплопередача coefficient .At то же самое время прсдпола !Считается, что существует идеальный тепловой контакт между слоями, или тепловое сопротивление контакта известно .Аналогично При различных сочетаниях граничных условий можно получить формулу для определения теплового потока через плоские сферические стенки .
При выборе толщины изоляции трубы Необходимо обратить внимание на тепловое сопротивление за счет увеличения наружного радиуса r₃ (r₃>r₂, наружный радиус неизолированной трубы r₂, число r₂ n = 2) изолирующего слоя .Разделение (l /X₂) ln (r₃/r₂) увеличивается, а отношение (l /a₂r₃) уменьшается .Исследование функции φ (₃₃) экстремумов показывает ее при условии з3 = ^ 2 / A2 (a₃r₃₃₃ = 1) .в случае Если необходимо уменьшить тепловое сопротивление теплопередачи, то поверхность теплопередачи может быть увеличена ребрами .Величина теплового потока в граничных условиях (220） если мы получим ax — > co и a₂^° (₁₁ / | ₍ ₍ ₍, tstr = Т’жг), то определяется 1-й вид-для оценки роли внутреннего источника тепла рассмотрим задачу теплопроводности бесконечно.
Позже Первый Интеграл равен 0 .5. Людмила Фирмаль
Длинный твердый цилиндр в присутствии объемного тепла (по названию электрического тока, химической реакции, трансмутации или других физических эффектов) .Позже f / / X + C / g, а второй-T = −0 .25fg2D + Cx в g +C₂ .(2 .22) для симметричного условия (IT / dr = 0, Ct = 0 до r = 0 .Когда определять границы 3-е условия [справочная формула (2 .8) ] цилиндрическая внешняя поверхность r-R, (dT / dr) » — 0 .5 fD / X и T = Tst = −0 .25fH2D+С₂, следовательно, учитывая (2 .23) С₂ = ТЖ+0 5fk (I / ОС + 0 .5 / ?Д.) Подставляя значения Ct и С₂ в Формулу (2 .22), получаем распределение температуры по радиусу цилиндра Т-ТЖ+ 0 .5 q» r / a + 0 .25 (qᵥ / K) (R2-Г1) .(2 .24) при r = 0 температура .
При T = r = T Tc, = Tl + 0, 5 гл / * » все тепло, выделяющееся из цилиндра, рассеивается с боков во внешнюю среду .Вопрос =qᵥnR2l, где nR2l объем цилиндра Длина .Результирующий тепловой поток= 2x (длина tst-1 м, f = — 21-Tg) ng = — nR2qᵥ .To определить распределение температуры T ® при граничных условиях типа 1 Необходимо принять формулу (2 .24) a- * co, TJ = TST .Расчетный ионный процесс теплопроводности в нестационарном режиме 11 сопровождается изменением времени .Существует температура, внутренняя энергия, энтальпия вещества, которая наблюдается при нагревании или охлаждении объектов .Когда неустойчивые процессы происходят над временем, температура каждого .
Точки тела имеют тенденцию к некоторому определенному предельному значению или изменению periodically .In в большинстве случаев процесс теплопередачи является、 Несколько этапов .Первая стадия характеризуется большой зависимостью температурного поля от начальных условий .Этап 2 включает упорядоченный процесс mode .In в частности、 Можно включить»нормальный режим« .он характеризуется монотонной зависимостью изменения температуры во времени q (ty / dt—m, где 0-разность температур между объектом и средой) .м .- Постоянная (скорость охлаждения) .на этом этапе состояние границ тела является решающим .3-я ступень соответствует установившемуся режиму теплопроводности .
Неустановленные задачи Теплопроводность решается как точными, так и приближенными численными методами .Рассмотрим один из методов анализа, метод разделения переменных, или метод Фурье .Если физические свойства тела постоянны и qn = 0, то формула (2 .5) принимает вид aT / Er = «U2T, (225) .Где a = X / (cp) — коэффициент теплопроводности .Характеризуя скорость изменения температуры тела; V2T-дифференциальный оператор-мера отклонения температуры в определенной точке тела от средней температуры вблизи нее .Для получения решения уравнения (2 .25) в наиболее общем виде рекомендуется ввести новую безразмерную переменную .
Время (используйте комплексное число Фурье) Fo = » r / 82; температура 0 = = (T- Отрегулируйте Т^ДТ, -и Х/&, У/ 8 и Z / 8 (т, — температура тела в первый момент; 8-характерный размер тела) .V20= X ?2T82DT, — TJ), поэтому v2T= v2e (Tₜ-tj) / 82, новое переменное уравнение (2 .25) предполагается ln ^ j =V2e (0 0 1, Fo> 0) .(2 .26) метод разделения переменных основан на выборе конкретного решения .Формуле (2 .26) и удовлетворяют граничным условиям .Линейные комбинации этих решений должны удовлетворять начальным условиям .Решение исходного уравнения выражается в виде Продукт 2 новых неизвестных функций .Один зависит только от времени, а другой только от координат .
Когда вы присваиваете эти функции выражению (2 .26), оно выглядит следующим образом: Ф72ф, или переменные разделения после p7p = Фольксваген (2 .27) ф ’/ф Время зависит только от того, ^2ф/ф-только координат, уравнения (2 .27) находится Условие f ’ / f = 2f/ f = const .Если мы представим неизвестную постоянную (- p2), то получим 2 обыкновенных дифференциальных уравнения Φ ’+ p2Φ= 0; .(2 .28) ?2Ф+r2f= 0 (229) F и f являются determined .As в качестве примера рассмотрим процесс охлаждения (или нагрева) неограниченных плоских стен (плит) .2 .2 .Распределение Плоская температура стенки, помещенная в жидкую или газообразную среду с постоянной температурой T*, не связанная с нестационарным режимом толщиной 2° .
Распределение Температура плоской стенки без границы в нестационарном режиме показана на рис . 2 .2 .Коэффициент теплопередачи на границе пластины определяется коэффициентом теплопередачи a-B В первый момент температура пластины Ti = const .Для вероятного одио-a2l, когда V20= — y, начальное тепловое уравнение (2 .26) можно представить в виде _a2 .d (Fo) » (%2where£= x / 6 (-1£1) ; начало координат расположено на средней плоскости plate .In безразмерные переменные, 3-градусное граничное условие принимает вид Bi = a8D- Безразмерный биокомплекс; 0st = — ТК) / (т, -TJ — безразмерная температура стенки .Начальное условие: 0 = (7 — ТЯ) / (Т₁ — (т = т.) при fo = 0 (T = 0) .
Задачи U2f = = d2ty/ dff =ф», решение уравнений (2 .28) и (2 .29) равно p (Fo) =е〜 ₽ ₽ 2, °и Ф (^) = CX Cos (p^) + csin (P^) .в терминах границ и начальных симметрий Условие ft-ft C2 = 0 и 0 = C, [cos (py]e_ 3fo₽ .Значение 0st = [O] e-1 и-m = — / in (2 .3 IX, получаем уравнение для определения константы p в виде Bicosp= psinp (i = 1, 2, 3, .. , °°) Или cig п / = ст / Би. Каждый корень p этого уравнения соответствует определенному решению уравнения (2. 30), поэтому общее решение может быть выражено в виде суммы. 0 — е, [соѕ (п£) ] е Фо. — i (2. 32) согласно начальным условиям (fo = 0 0 = 0, = 1, e — ₽ ’ fo= 1) СО ∈ c, cos (p, ^) =1. Равенство умножить обе стороны этого f = 1 cos (p^) и интегралы в диапазоне от −1 до+1: åf c. — cos (p£) cos (p£) ^ = i = i −1 = 7 cos (p^) ^ (2. 33) .
Читывая свойства системы ортогональных функций, все так как член уравнения i # j (2. 33) равен нулю, то если i = j, то уравнение (2. 33) равно c, = 7 >> 8 (p, y / /? Co8 ’ (8′) ) ; = −1 можно выразить в виде-1 = 2 sin 0, / [p, 4-sin p; cospj. Каждому p-значению соответствует определенное значение константы интегрирования q. Существует таблица для определения значений p и ci. При анализе результатов решения、 Чтобы вычислить значение 0, достаточно ограничиться 6 членами ряда. Из полученного раствора видно, что в bi 0. 1 температура поверхности и Центра пластины практически одинаковы. Для всех fo bi> 100 можно предположить, что t — это t*.
Температура поверхности и Центра пластины также может быть найдена с помощью доступных номограмм. Зависимость 0С0 и 0от безразмерного времени » g / 62 (0О-безразмерная температура в центре пластины) для различных значений ab / 1. To рассчитайте температуру в пластине по формуле (2. 32) следующая программа на Фортране может быть использован в компьютер: измерение в (6), Б (6), Техас (12), А1 (6), & В1 (формат 6) 1 (5f13. 6 / 4e13. 5, 14) Читаем (1, 1) ТН, т, ДТ, Вт, ДТ, ДТ, ДТ, ДТ, ДТ, ДТ, Д, Д, Д, Д, Ж, Д, Вт, Вт, Вт, Вт, Вт, Вт, Вт, Вт, Вт, Вт, Вт, Вт, Вт, Вт, Вт, Вт, Вт, Вт, Вт, Вт, Вт, Вт, Вт, Вт, Вт, Вт, Вт, Вт, Вт, Вт, Вт, Вт、 ТП и тэ РО. АЛ к записи (3, 1) ТФ, ТН, ДТ, Вт, ТП, &РО, Тэ, Эл, к 2 формата (fl3. 6) ak-tp / (te x ro) pi = 3. 1415926 eps = 0j bi-al * bt / tp dos dos = 1, 6 bl (j) = pi * (К-1) + 0. 001 Ас (к) = ПИ * 0. 5 * (2 * Дж-1) Д = БЗ (Дж) е = Ас (j), в 10 ФА .
Би * потому что (Д) / Си n (Д) — Диб = Би * потому что (Д) / грех (е) -е ДКА—Би / Син (Д) * * 2-1 Д = Д- ФА / ДФА е = е- (э-Д) / (ФБ-ФА) * fb если (Э-Д-ЭПС) 12, 12, 10, 12б (К) * (d + Е) * 0. 5 8 а (j) =2* Син (Б (к) ) АВ (к) + & Син (Б (К) ) * потому что (б (к) ) (3, 2) (а (j), j в (1, 6), ДЖ (ДЖ) ; ДЖ (ДЖ) ; ДЖ (ДЖ) ; ДЖ (ДЖ), ВАЛЕТ (j), В), j В (j В (j В (j С) ) ) ) * j В (j В (j В (j С) ) ) ) (С j (j В (j В (j С) ) ) ) ) ) (С j (j В (j В (j С) ) ) ) ) ) ) (С j (j В (j В (j В (j В (j В) ) ) ) ) ) ) ) ) ）、 &j = 1, 6) 5 do3 i = 1, k f = — (ak / (bt * * 2h tx = 0. СДЕЛАЙТЕ 6 l = 1, 11 c = 0. Do4 j = 1, 6 4₽c 4 a (j) * cos (b (j) * x) * & f. Xp ((b (j) * * 2) * f) tx (l) — tf- (tf-tn) * c 6 x = x + 0. 1 напишите (3, 7) t, (tx (l), l => 1, 11) 7 для mat (ix, t = f5. 1, 5х / (15Х, & 11 (Ф15. 7, 2 x) ) ) 3 t = t + dt stop end в программе, t*, t*, (6, х/ 8, x, р, и а отмечены. Через tf, tn, t, bt, x, tp, ro, te, al соответственно. X / 8 значения, указанные в программе（0; 0. 1; 0. 2; 0. 3;. .1) температура в соответствующей пластине обозначается TX (L) .
Здесь L = 1, 2, 3, .. , 11-пространственный цикл parameter. In в программе k, общее число точек в t =Т (1 = 1), для которых рассчитывается температура tx (l) : 1）、 Указывается в исходных данных. 2) для t = t + dt (i = 2) ; для j) t = t + (k-1) dt (i = k). Где dt-заданный временной шаг. I-параметр временного цикла. Константы c и p Обозначается a (j) и b (j) соответственно. Где j-количество членов в ряду 1j6. In программа, значение p (i = 1, 2, 3,. .Например, 6) Значения выражений etg p, = p, / Bi и C-находятся в приведенных выше формулах .0 = = 0 для каждого значения Fo (£, Fo） Количество тепла, которое пластина может воспринимать или отдавать во внешнюю среду Qₜ, можно определить: a / fto = 0 .5 7 (1-0) ^ .−1 здесь, Qₜ=2ср6А (Г, -7) = +в=срајбыл (Тх- T) dx −6 Qto = 2cp6 (Tj-TJ A.
A-площадь поверхности пластины; T-объемная средняя температура пластины .Подобные проблемы теплопроводности существуют и в организме .Бесконечно длинный цилиндр и шарообразная форма .Нестационарная задача теплопроводности некоторых объектов ограниченной длины (цилиндр, параллелепипед, призма、 Решение было решено с использованием принципа суперпозиции решения .Например, если цилиндр длиной 26 помещен в среду с температурой Tl, а сила теплопередачи равна со всех сторон、 Температура определяется произведением безразмерной температуры бесконечного цилиндра с одинаковым радиусом и неограниченной пластины толщиной 26 0 ° Cn .
Эта эффективность может быть установлена .Подставляя произведение bnvp в исходное уравнение .Однако принцип суперпозиции решений может быть применен только к задачам, где уравнение теплопроводности описывается как линейное .Приблизительный, r . e .In X, c, j > постоянные значения и линейные граничные условия .
Смотрите также:
| Обратные термодинамические циклы | Численные методы решения задач теплопроводности |
| Теория теплообмена | Конвективный теплообмен |
