Оглавление:
Все точки разрыва функции подразделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Точка разрыва 
называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существуют конечные левосторонние и правосторонние пределы, т.е. 
и 
.
Если 
, то точка называется точкой устранимого разрыва, если 
, то точка называется точкой конечного разрыва.
Точки разрыва первого рода можно представить следующим образом:
Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке хотя бы один (левосторонний или правосторонний) предел равен бесконечности.
Точки разрыва второго рода можно представить следующим образом:
Можно привести много примеров хорошо известных нам основных элементарных функций, имеющих точки разрыва второго рода:
— точка разрыва II рода;
— точки разрыва II рода;
— точки разрыва II рода.
Рассмотрим на примере, как находить точки разрыва функции и определять их род.
Пример №10.3.
Найдите точки разрыва функции 
и определите их род.
Решение:
Функция является элементарной, следовательно, она непрерывна на области определения.
Найдем 
и 
. Получили, что точки 
и 
являются точками разрыва функции. Для того, чтобы их классифицировать, найдем предел функции в указанных точках.
Для точки 
, следовательно, — точка разрыва II рода.
Для точки 
следовательно, — точка разрыва I рода. Поскольку левосторонний и правосторонний пределы функции в этой точке совпадают, то — точка устранимого разрыва. Положив 
при , разрыв устранится, функция станет непрерывной.
График данной функции представлен на рисунке 10.6.
Пример №10.4.
Найдите точки разрыва функции 
и определить их род.
Решение:
Функция 
состоит из двух частей: 
(при 
) и 
(при 
). Функции и являются элементарными, непрерывными на множестве 
.
Имеет ли функция разрыв? Она определена во всех точках отрезка [-1; 4]. Найдем левосторонний и правосторонний пределы данной функции в точке 
.
Левосторонний предел: 
Правосторонний предел: 
Поскольку левосторонний и правосторонний пределы функции конечны, то — точка разрыва I рода. Но эти пределы не равны между собой, следовательно, — точка конечного разрыва.
График данной функции представлен на рисунке 10.7.
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
| Свойства функций, непрерывных на отрезке. |
| Непрерывность элементарных и сложных функций. |
| Понятие производной функции. |
| Нахождение производных основных элементарных функций. |
