Трансцендентные числа: предыстория, развитие теории в XIX

Оглавление:

Предмет: Философия

Тип работы: Реферат

У вас нет времени или вам не удаётся понять эту тему? Напишите мне в whatsapp, согласуем сроки и я вам помогу!

На странице рефераты по философии вы найдете много готовых тем для рефератов по предмету «Философия».

Дополнительные готовые рефераты на темы:

Введение

Первоначальные элементы математики связаны с появлением навыков счета, возникающих в примитивной форме на сравнительно ранних ступенях развития человеческого общества, в процессе трудовой деятельности. Понятие натурального числа, появляющееся как результат постепенного абстрагирования, является основой всего дальнейшего развития математики. Изучение свойств натуральных чисел, начатое в примитивной форме математиками давно ушедших поколений, занимает большое место в современной математике, составляя основное содержание одного из ее ведущих разделов, называемой теорией чисел. Исторически теория чисел возникла как непосредственное развитие арифметики. В настоящее время в теорию чисел включают значительно более широкий круг вопросов, выходящих за рамки изучения натуральных чисел. В теории чисел рассматриваются не только натуральные числа, но и множество всех целых чисел, а так же множество рациональных чисел.

Поле алгебраических чисел

Комплексное или действительное число α называется алгебраическим числом, если оно является корнем некоторого многочлена

f(x) = a₀xⁿ+ a₁x^n-1 + … + a_n= 0 (1)

с целыми коэффициентами a_0,a_1,… , a_n , неравными одновременно нулю.

Если α – корень многочлена (1) степени с целыми коэффициентами, то α является корнем многочлена + + … + с рациональными коэффициентами. Корень любого многочлена с рациональными коэффициентами, неравными одновременно нулю, является корнем некоторого уравнения с целыми коэффициентами. Поэтому можно дать эквивалентное определение алгебраического числа: комплексное или действительное число α называется алгебраическим числом, если оно является корнем некоторого многочлена f(x) = + + … + с рациональными коэффициентами.

Из f(α) = 0 следует f(α)ψ(α) = 0, где в качестве ψ(x) можно взять произвольный многочлен с целыми коэффициентами. Таким образом, для любого алгебраического числа α существует бесконечное множество многочленов с рациональными коэффициентами, корнями которых является α; из всех этих многочленов обычно рассматривают многочлен наименьшей степени.

Число nназывается степенью алгебраического числа α, если α есть корень некоторого многочлена n-й степени с рациональными коэффициентами и не существует тождественно неравного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем n, корнем которого являлось бы число.

Если корень многочлена n-й степени с целыми рациональными коэффициентами α не является корнем ни одного тождественно неравного нулю многочлена с целыми коэффициентами степени, меньшей чем n, то α не может быть корнем и тождественно неравного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем n, т.е. α – алгебраическое число степени n.

Из этого определения вытекает, что уравнение (1) степени n, корнем которого является алгебраическое число α степени n, является неприводимым в поле рациональных чисел, то есть что многочлен f(x) нельзя разложить в произведение двух многочленов с рациональными коэффициентами степени не ниже первой. Если бы это было возможно, то получилось бы f(x) = (x) и тогда оказалось бы, что α удовлетворяет по крайней мере одному из уравнений ) = 0, (x) = 0 степени < n c рациональными коэффициентами и не может поэтому быть алгебраическим числом степени n.

Рациональные числа являются алгебраическими числами 1-й степени. Любая квадратическая иррациональность представляет собой алгебраическое число 2-й степени, так как, являясь корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами, она не является корнем какого-либо уравнения 1-й степени с целыми коэффициентами. Алгебраические числа 3-й степени часто называют кубическими иррациональностями, а алгебраические числа 4-й степени – биквадратическими иррациональностями.

К алгебраическим числам, очевидно, относятся все рациональные числа , так как последние удовлетворяют уравнению bx – a = 0. (При этом ясно, что они будут алгебраическими числами степени 1, так как уравнению с меньшей степенью они удовлетворять не могут.) Алгебраическими числами будут также числа вида, где a – целое число, а m – любое рациональное число, например число , которое удовлетворяет уравнению – 5 = 0.

Если алгебраическое число n-й степени α является корнем многочлена

f(x) = + + … + (n ≥ 1) (2)

с рациональными коэффициентами, то f(x) называется минимальным многочленом для α.

Таким образом, минимальным многочленом для α называется многочлен наименьшей степени с рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом, равным единице, корнем которого является α. Если вместо многочлена (2) взять какой-либо другой многочлен с рациональными коэффициентами степени n, корнем которого является α, то многочлен (2) может быть получен из него делением всех коэффициентов на коэффициент старшего члена. [2, c. 59]

Теорема 1. Если f(x) – минимальный многочлен для алгебраического числа α и F(x) – многочлен с рациональными коэффициентами, такой, что F(α) = 0, то f(x) – делитель F(x), т.е. F(x)=f(x)g(x), где g(x) также многочлен с рациональными коэффициентами.

Доказательство: согласно известной теореме алгебры F(x) можно представить в виде F(x) = f(x)g(x) + r(x), где g(x) и r(x) – многочлены с рациональными коэффициентами, причем степень r(x) меньше степени f(x).

Поскольку F(α) = 0 и f(α) = 0, то, придавая xзначение α, получаем r(α) = 0; α – корень многочлена r(x) с рациональными коэффициентами степени, меньшей, чем у минимального для α многочлена, т.е. меньшей, чем степень α. Это может быть только, еслиr(x) тождественно равно нулю, а, значит, F(x) = f(x)g(x). Для данного α существует единственный минимальный многочлен. Действительно, частное от деления друг на друга двух минимальных многочленов для α должно быть рациональным числом, равным единице, что означает тождественное их равенство.

Целые алгебраические числа

а) Среди алгебраических чисел особенно важны те, которые являются решениями уравнения вида

f(x) = xⁿ + b₁xⁿ^{– 1} + … + b_n= 0 (1)

с целыми коэффициентами b₁, b₂, …, b_n. Такие числа называются целыми алгебраическими числами.

Из предыдущего параграфа можно сделать вывод, что они образуют кольцо, т.е. сумма, разность и произведение двух целых алгебраических чисел α и β снова будут алгебраическими числами. (Заметим еще, что если коэффициенты в (1) – целые алгебраические числа, то и корни этого уравнения также являются целыми алгебраическими числами.) Но не всегда частное является целым алгебраическим числом. В связи с этим возникает вопрос о делимости целых алгебраических чисел.

Как известно из арифметики обычных целых чисел, вопрос делимости тесно связан с вопросом об однозначном разложении целого числа на «простые» множители. Если бы это оказалось возможным, то теория делимости и вместе с тем вся арифметика в кольце целых чисел была бы аналогична обычной арифметике.

б) Если говорить о всех целых алгебраических числах, то здесь на первых порах понятие неразложимости теряет смысл, так как, например, α = = и так далее, причем и также являются целыми алгебраическими числами. Не так плохо обстоит дело, если рассматривать целые алгебраические числа так называемого простого расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения целого алгебраического числа α степени n, т.е. все числа вида

А = c₀ + c₁α + … + c _n_{— 1}αⁿ^{– 1}, (2)

где c₀, c₁,…, c_{n – 1} – целые числа, а α – решение уравнения вида.

Совокупность этих чисел, которую обозначим через P(α), образует кольцо.

в) Впервые такие числа рассматривал Гаусс, а именно – целые числа, т.е. числа вида a + bi, где i = , а a и b – все возможные целые рациональные числа.

В этом так называемом гауссовом кольце, имеется бесконечно много «простых» чисел, и всякое число этого кольца может быть разложено в произведение конечного числа таких «простых» чисел (и еще одной из четырех так называемых единиц = 1, i, — 1, — i кольца a + bi), причем однозначно (если не обращать внимание на порядок их следования и на множители «единицы»).

г) Однако такое однозначное разложение на простые множители (т.е. на множители, которые уже не могут быть представлены в виде произведения сомножителей такого же вида) не всегда возможно. Так, например, в кольце P() 6 = 2·3 = (1 + )(1 — , причем числа 2 = 2 + 0·, 3 = 3 + 0·, 1 + ) и (1 — являются в нем «простыми», так как оказывается, что они не разложимы на другие числа такого же вида.

С такими трудностями впервые встретился Куммер, пытаясь доказать великую теорему Ферма. Рассматривая целые числа поля деления круга (т.е. числа вида, где α корень неприводимого уравнения = 0) для простых значений n, он обнаружил, что для некоторых n возможно однозначное разложение любого числа кольца, а для других n этого нет.

После многолетних усилий Куммеру удалось преодолеть возникшие трудности. Он ввел в поле алгебраических чисел новые элементы, так называемые идеальные числа. С их помощью ему удалось восстановить однозначность разложения на простые множители и решить проблему Ферма для целого класса значений n.

д) Идея, которая лежит в основе введения идеальных множителей, аналогична той, с которой встречаемся в проективной геометрии, когда вводим несобственные элементы.

Рассмотрим пример. Предположим, что известно только множество D₂ четных чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12 и так далее. В этом множестве числа 2, 6, 10, 14, 18 и другие будут неразложимы. Если будем считать их «простыми», то закон однозначного разложения на множители в D₂ нарушится, например 60 = 6·10 = 2·30.

Если же дополнить множество D₂ нечетными числами, которые играют здесь роль идеальных элементов, и определить «простые» числа в расширенной области, то однозначность разложения восстановится. Для числа 60 имеем 60 = 2·3·2·5, причем 6 = 2·3, 10 = 2·5, 30 = 2·3·5 (здесь 2 – «неидеальный» простой множитель, а 3 и 5 – «идеальные» простые множители).

Причину неоднозначности разложения числа множества D₂ на неразложимые числа этого множества можно объяснить тем, что различные группировки идеальных множителей в одном и том же произведении могут давать различные произведения неразложимых чисел множества D₂.

е) Теория Куммера получила широкое признание. Однако при попытке распространить метод Куммера на кольца алгебраических чисел, зависящих от корня α произвольного неприводимого уравнения

f(x) = xⁿ + b₁xⁿ^-1 + … + b_n = 0,

где b₁, b_2,…, b_n– целые рациональные числа, возникли принципиально новые трудности.

Эту сложную задачу одновременно и независимо друг от друга решили в самой общей форме Дедекинд и Е. М. Золотарев в 70-х годах прошлого столетия. При этом решение, данное Золотаревым, оказалось во многих отношениях более глубоким, благодаря применению им новых методов.

Трансцендентные числа. Теорема Лиувилля

Долгое время считалось, что все числа являются алгебраическими. Только в 1844 году французский математик Ж. Лиувилль показал, что существуют числа, которые не являются алгебраическими, то есть не могут удовлетворять алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Такие числа называются трансцендентными. Идея доказательства Лиувилля заключается в следующем. Сначала он показывает, что алгебраические числа аппроксимируются рациональными числами по определенному закону, а затем показывает, что существуют такие числа, которые не подчиняются этому закону.

Теорема Лиувилля: для каждого действительного алгебраического числа α степени n (≥2) существует такое положительное постоянное число c, что выполняется неравенство.

│α — │ ≥ (1)

справедливо для любой рациональной дроби.

Доказательство. Пусть α — действительный корень несводимого алгебраического уравнения степени n

f(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an = 0,

где все αi — целые числа, а n ≥ 2.

По теореме Безу, f(x) делится на x — α, следовательно,

f(x) = (x — α)φ(x),

где φ(x) — многочлен степени n — 1 с вещественными коэффициентами. Полагая x = , получаем.

│f()│ = │α — │-│φ()│. (2)

Из-за несводимости многочлена f(x) число f() не может быть нулем, иначе многочлен f(x) был бы кратен x — . Поэтому

│f()│= ≥ , (3)

Поскольку │α0 pn + α1 pn — 1 q + … + αn qn│ — ненулевое целое число.

Пусть теперь отрезок [α — 1, α + 1] и — принадлежит наибольшему значению многочлена │φ(x)│ на этом отрезке. Тогда │ φ()│ ≤ и согласно (2) и (3).

≤ │f()│≤ │α — │,

где

α — ≥.. (4)

Если взять за пределами отрезка [α — 1, α + 1], то │α — │> 1, а так как q — целое число, то имеем.

│α — │>. (5)

Обозначим наименьшее из чисел 1 и c1 через c; тогда, в силу (4) и (5), для любого рационального

│α — │≥ ,

где постоянная c не зависит от p и q. Теорема доказана.

Теорема Лиувилля показывает, что приближение любого алгебраического иррационального числа рациональными дробями ограничено снизу значением порядка. В частности, для квадратичных иррациональностей значение порядка равно

Автор показывает, что кроме квадратичных иррациональностей существуют и другие иррациональности, для которых порядок приближения рациональными дробями снизу ограничен порядком .

Доказательство существования трансцендентных чисел

Теорема Лиувилля дает необходимый признак алгебраического числа. Лиувилль показал, что можно построить бесконечно много таких чисел, которые не подчиняются этому признаку. Для этого он использовал аппарат непрерывных дробей.

Предположим, что дробные коэффициенты бесконечно построенной продолженной дроби удовлетворяют следующему правилу рекурсии: если коэффициенты q1, q2, … , qk уже определены (а значит, определена и соответствующая дробь), выбираем следующий дробный коэффициент такой, чтобы выполнялось условие qk + 1 >. Определенная таким образом непрерывная дробь представляет собой иррациональное число α. Мы хотим показать, что α трансцендентна. На самом деле, благодаря известным свойствам непрерывных дробей и условию < qk + 1, мы имеем.

│α — │< = < < ,

или

│α — │< .

Теперь зададим любое c > 0 и любое заданное натуральное n (≥2). Если взять k ≥ n настолько большим, что < c (это всегда возможно, так как Qk растет бесконечно), то имеем │α — │< , а так как для таких k , то a fortiori │α — │< .

Таким образом, число α не удовлетворяет необходимому свойству алгебраического числа степени n из теоремы Лиувилля. Поэтому α не может быть алгебраическим числом степени n. Но поскольку n выбрано произвольно, α вообще не может быть алгебраическим числом степени n, поэтому оно трансцендентно.

Также можно построить трансцендентные числа, не прибегая к непрерывным дробям. В 1874 году немецкий математик Г. Кантор, отталкиваясь от разработанной им теории множеств, дал новое замечательное доказательство существования трансцендентных чисел.

Основная теорема теории множеств приводит к выводу, что множество алгебраических чисел счетно, а из этого следует существование вещественных неалгебраических чисел.

Теорема 1: Множество всех алгебраических чисел является счетным.

Доказательство: Рассмотрим множество всех алгебраических чисел степени n.

Для любого несводимого многочлена с целыми коэффициентами

f(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an = 0

мы подбираем число H = ││+││+ … +││││. Существует лишь конечное число таких многочленов с заданным значением H, а поскольку каждый такой многочлен имеет не более n корней, существует также лишь конечное число алгебраических чисел с заданным значением H для соответствующего многочлена. Если присвоить значениям H значения 1, 2, 3, … и рассмотрим все соответствующие невыводимые многочлены и их корни над полем рациональных чисел, получим множество алгебраических чисел степени n, представленное как сумма счетного множества конечных множеств, т.е. как счетное множество.

Множество M всех алгебраических чисел равно + + … т.е. как сумма счетного множества счетных множеств, она также является счетным множеством.

Теорема 2: Вещественные неалгебраические числа существуют.

Доказательство: Множество вещественных чисел не является счетным. Вещественные алгебраические числа в этом множестве образуют счетное подмножество и поэтому не исчерпывают всего множества вещественных чисел. Теорема доказана.

Заключение

В период с 1882 по 1929г. теория трансцендентных чисел почти не двигалась вперед. Известные методы были исчерпаны, а новых путей для доказательств трансцендентности не было видно. Метод Эрмита – Линдемана оказался, однако, бессильным установить трансцендентность многих других величин, часто встречающихся в математике, таких, например, как , , и т.д. В 1929 – 1934гг. советский математик А.О. Гельфонд ввел в теорию трансцендентных чисел существенно новые методы, позволившие ему и другим математикам, работавшим в этом направлении, установить трансцендентность многих величин, арифметическая природа которых до этого не была известна. Теоремой Гельфонда была решена знаменитая проблема, поставленная Гильбертом еще в 1900 г. на Международном съезде математиков и считавшаяся одной из наиболее трудных среди целого ряда проблем, выдвинутых им на этом съезде.

Работы Гельфонда и других математиков,в особенности Зигеля, Маллера, Шнейдера, Шидловского, существенно продвинули теорию трансцендентных чисел. Вместе с тем о многих величинах, часто встречающихся в математике, до сих пор трудно определить, являются ли они трансцендентными или алгебраическими. Так, например, предполагают, что эйлерова постоянная C – трансцендентное число. Доказать это пока не удалось, и, не опровергнута даже возможность того, что C – рациональное число.

Трансцендентные числа применяются и в других науках. Например, в экономическом смысле число e означает максимально возможную годовую прибыль при 100 % годовых и максимально частой капитализации процентов. Теоретически считается, что наиболее производительные компьютеры должны иметь разрядность e. Троичные ЭВМ ближе к данному значению, но из-за технических сложностей распространение получили двоичные компьютеры, в которых используются 1 и 0. Числа π и е входят также во множество формул в математике, физике, химии, биологии, также в экономике. Константа е непосредственно связана с однородностью пространства и времени, а π — с изотропностью пространства. Тем самым они отражают законы сохранения: число е — энергии и импульса (количества движения), а число π — вращательного момента (момента импульса). Природу числа е полезно знать поглубже студентам-химикам и материаловедам, биологам и экономистам. Это поможет им понять кинетику распада радиоактивных элементов, насыщения растворов, износа и разрушения материалов, размножения микробов, воздействия сигналов на органы чувств, процессов накопления капиталов и т.д. — бесконечного множества явлений в живой и неживой природе и деятельности человека.

В работе введена сплошная нумерация теорем и определений арабскими цифрами. Большое место в работе занимают теоретические сведения о развитии алгебры теории чисел. Введение, дающий общий очерк развития теории чисел, посвящен уже конкретно развитию теории алгебраических чисел. Так же на протяжении всей работы можно наблюдать исторические комментарии. Поставленные цели и задачи в работе выполнены.

Эта работа может быть рекомендована студентам в качестве дополнительного материала для углубленного изучения математики.

Данная работа дает представление о современном состоянии рассматриваемого вопроса и дает представление о теории алгебраических чисел и о теории чисел вообще, как о развивающейся науке.

Список использованной литературы

Михелович, Ш. Х. Теория чисел: учеб. / Ш. Х. Михелович — 2-е изд., испр. и доп. — М.:Высшая школа, 1967. — 334с.
Бухштаб А. А. Теория чисел: учеб. пособие/ А. А. Бухштаб — 3-е изд., стер. — СПб.: Лань, 2008. — 384 с.
Нивен А. Н. Числа рациональные и иррациональные: учеб./ А. Нивен 2-е изд., испр. и доп.- М.: Мир, 1966. — 201 с.
Сафонов В. И. Алгебра и начала анализа/В. И. Сафонов//Математика в школе. – 2009. — №1. – с. 24-26
Фельдман Н. Алгебраические и трансцендентные числа/Н. Фельдман//Квант. – 1983. — №7. – с. 5 — 7
Виноградов И.М. Элементы высшей математики: учебник для вузов/ И. М. Виноградов 2- е изд. — М.: Высшая школа, 1999. — 512 с.
Кутузова Т. И., Казанцев А. Д. Элементы математики в задачах: учеб. пособие / Т.И. Кутузова, А.Д. Казанцев. — М.: МЦНМО, 2011. — 160 с.