Оглавление:
Тригонометрические неравенства
Рассмотрим примеры тригонометрических неравенств. При решении таких неравенств используются свойства тригонометрических функций и их графики.
Примеры с решениями
Пример №303.
Решить неравенство
Решение:
Первый способ. Построим график функции и проведем прямую (рис. 25.1).
Решить неравенство (1) — значит найти все значения , при которых соответствующие точки графика функции лежат ниже прямой и на этой прямой.
Так как функция является периодической с периодом , то достаточно найти решения неравенства (1) на отрезке длиной . В качестве такого отрезка возьмем отрезок
Прямая при пересекает график функции в точках и (рис. 25.1), абсциссы которых служат
корнями уравнения на отрезке Одним из корней этого уравнения является другим — значение
Следовательно, значения из отрезка и значения, являются решениями неравенства (1) на отрезке а множество всех решений неравенства (1) — это объединение всех отрезков каждый из которых получается из отрезка сдвигом по оси на где т. е. совокупность отрезков вида
Ответ.
Второй способ. Решим неравенство (1) с помощью единичной окружности. Построим угол, косинус которого равен . Для этого отметим на оси точку с абсциссой, равной , и проведем через эту точку прямую , параллельную оси (рис. 25.2).
Прямая пересекает единичную окружность в точках и .
Точке соответствует угол в радиан, а точке — угол в радиан.
Из рис. 25.2 видно, что абсциссу, меньшую или равную , имеют все точки единичной окружности, расположенные слева от прямой и на самой прямой. Итак, множество всех решений неравенства (1) представляет собой совокупность отрезков вида (2).
Пример №304.
Решить неравенство
Решение:
Построим график функции на отрезке и проведем прямую рис. 25.3).
Эта прямая пересекает график функции , в точках и , абсциссы и которых равны и соответственно. Из рис. 25.3 видно, что решения неравенства (3) на отрезке образуют интервал а множество всех решений неравенства (3) — это совокупность интервалов, каждый
из которых можно получить сдвигом интервала по оси на , где
Ответ.
Пример №305.
Решить неравенство
Решение:
Первый способ. Построим графики функций и (рис. 25.4). Функция является периодической с периодом . Поэтому достаточно найти решения неравенства (4) на отрезке длиной . В качестве такого отрезка выберем отрезок . На этом отрезке прямая пересекает график функции в точках и , абсциссыи которых равны и соответственно. Из рис. 25.4 видно, что решениями неравенства (4) на отрезке являются все числа интервала
Поэтому множество всех решений неравенства (4) — это объединение интервалов вида
Ответ.
Второй способ. Построим единичную окружность и проведем через точку оси с ординатой прямую , параллельную оси (см. рис. 25.5).
Прямая пересекает единичную окружность в точках и
Точке соответствует угол в радиан, а точке — угол в радиан. Из рис. 25.5 видно, что все точки единичной окружности, расположенные ниже прямой , имеют ординату, меньшую
Итак, множество всех решений неравенства (4) представляет собой совокупность интервалов вида (5).
Пример №306.
Решить неравенство
Решение:
Неравенство (6) равносильно неравенству
Построим график функции и проведем прямую (рис. 25.6). Функция является периодической с периодом , а на отрезке уравнение имеет корни и Из рис. 25.6 видно, что решениями неравенства (7) на отрезке являются все числа из интервала Множество решений неравенства (7) — это объединение интервалов, каждый из которых можно получить сдвигом интервала по оси на , где
Ответ.
Пример №307.
Решить неравенство
Решение:
Функция является периодической с периодом . Построим график функции : на интервале и проведем прямую (см. рис. 25.7). Функция возрастает на интервале , а прямая пересекает график этой функции в точке с абсциссой .
Поэтому решениями неравенства (8) на интервале являются все числа из интервала а множество всех решении неравенства (8) представляет собой совокупность интервалов вида
Ответ.
Пример №308.
Решить неравенство
Решение:
Полагая , получаем квадратное неравенство , равносильное неравенству
Поэтому неравенство (9) равносильно каждому из неравенств
На отрезке уравнение имеет корни и (см. рис. 25.1), а решениями неравенства (10) на этом отрезке являются все числа из интервала.
Множество решений неравенства (10) и равносильного ему неравенства (9) представляет собой объединение интервалов вида
Ответ.
Пример №309.
Решить неравенство
Решение:
Первый способ. Используя тождество заменим неравенство (11) равносильным ему:
Как и при решении однородных тригонометрических уравнений, сведем неравенство (12) к квадратному относительно Рассмотрим два возможных случая:
1) Пусть, тогда и неравенство (12) примет вид Следовательно, все значения , удовлетворяющие уравнению , т. е. числа
являются решениями неравенства (12).
2) Пусть тогда и неравенство (12) равносильно каждому из неравенств
а неравенство (14) равносильно совокупности неравенств
На интервале решения неравенства (15) — это все числа из интервала , а решения неравенства (16) все числа из интервала Следовательно, на интервале решениями неравенства (12), равносильного (11), являются все числа из интервалов и , а также число , т. е. все числа , принадлежащие интервалу
Так как функция периодическая с периодом , то множество всех решений неравенства (12) представляет собой совокупность интервалов вида
Ответ.
Второй способ. Неравенство (11) равносильно каждому из следующих неравенств:
где Отсюда находим
Заметим, что
где Поэтому двойное неравенство (18) но записать в виде (17).
Пример №310.
Решить неравенство
Решение:
Найдем решения неравенства на отрезке длиной . Все значения из интервала — решения неравенства, так как при а левая часть неравенства определена и неотрицательна при всех .
Пусть , тогда исходное неравенство равносильно каждому из неравенств
Так как то откуда
Итак, на отрезке , решениями исходного неравенства являются все числа из интервала
Ответ.
Пример №311.
Доказать, что если — углы треугольника, то
Решение:
Обозначим левую часть неравенства (19) через и выразим произведение синусов через разность косинусов. Тогда получим
так как Полагая и применяя метод выделения полного квадрата, имеем
откуда следует, что
Неравенство (19) доказано.
Пример №312.
Доказать, что если то верно неравенство
Решение:
Так как при то, разделив числитель и знаменатель левой части неравенства (20) на получим равносильное ему неравенство 1
Обозначим левую часть неравенства (21) через и воспользуемся формулой Тогда задача сведется к доказатель- ству неравенства
Полагая получаем где Заметим, что
при
и поэтому
т. е. что и требовалось доказать.
Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:
Возможно вам будут полезны эти страницы: