Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тригонометрические неравенства

Рассмотрим примеры тригонометрических неравенств. При решении таких неравенств используются свойства тригонометрических функций и их графики.

Примеры с решениями

Пример №303.

Решить неравенство

Тригонометрические неравенства с примерами решения Тригонометрические неравенства с примерами решения

Решение:

Первый способ. Построим график функции Тригонометрические неравенства с примерами решенияи проведем прямую Тригонометрические неравенства с примерами решения(рис. 25.1).

Решить неравенство (1) — значит найти все значения Тригонометрические неравенства с примерами решения, при которых соответствующие точки графика функции Тригонометрические неравенства с примерами решения лежат ниже прямой Тригонометрические неравенства с примерами решения и на этой прямой.

Так как функция Тригонометрические неравенства с примерами решения является периодической с периодом Тригонометрические неравенства с примерами решения, то достаточно найти решения неравенства (1) на отрезке длиной Тригонометрические неравенства с примерами решения. В качестве такого отрезка возьмем отрезок Тригонометрические неравенства с примерами решения

Прямая Тригонометрические неравенства с примерами решенияпри Тригонометрические неравенства с примерами решенияпересекает график функции Тригонометрические неравенства с примерами решения в точках Тригонометрические неравенства с примерами решенияи Тригонометрические неравенства с примерами решения (рис. 25.1), абсциссы которых служат

Тригонометрические неравенства с примерами решения

корнями уравнения Тригонометрические неравенства с примерами решения на отрезке Тригонометрические неравенства с примерами решения Одним из корней этого уравнения является Тригонометрические неравенства с примерами решения другим — значение Тригонометрические неравенства с примерами решения

Следовательно, значения Тригонометрические неравенства с примерами решения из отрезка Тригонометрические неравенства с примерами решения и значения, являются решениями неравенства (1) на отрезке Тригонометрические неравенства с примерами решения а множество всех решений неравенства (1) — это объединение всех отрезков каждый из которых получается из отрезка Тригонометрические неравенства с примерами решениясдвигом по оси Тригонометрические неравенства с примерами решения на Тригонометрические неравенства с примерами решения где Тригонометрические неравенства с примерами решения т. е. совокупность отрезков вида

Тригонометрические неравенства с примерами решения Тригонометрические неравенства с примерами решения

Ответ. Тригонометрические неравенства с примерами решения

Второй способ. Решим неравенство (1) с помощью единичной окружности. Построим угол, косинус которого равен Тригонометрические неравенства с примерами решения. Для этого отметим на оси Тригонометрические неравенства с примерами решения точку с абсциссой, равной Тригонометрические неравенства с примерами решения, и проведем через эту точку прямую Тригонометрические неравенства с примерами решения, параллельную оси Тригонометрические неравенства с примерами решения (рис. 25.2).

Прямая Тригонометрические неравенства с примерами решения пересекает единичную окружность в точках Тригонометрические неравенства с примерами решения и Тригонометрические неравенства с примерами решения.

Точке Тригонометрические неравенства с примерами решения соответствует угол в Тригонометрические неравенства с примерами решения радиан, а точке Тригонометрические неравенства с примерами решения — угол в Тригонометрические неравенства с примерами решения радиан.

Из рис. 25.2 видно, что абсциссу, меньшую или равную Тригонометрические неравенства с примерами решения, имеют все точки единичной окружности, расположенные слева от прямой Тригонометрические неравенства с примерами решения и на самой прямой. Итак, множество всех решений неравенства (1) представляет собой совокупность отрезков вида (2).

Пример №304.

Решить неравенство

Тригонометрические неравенства с примерами решения Тригонометрические неравенства с примерами решения

Решение:

Построим график функцииТригонометрические неравенства с примерами решения на отрезке Тригонометрические неравенства с примерами решенияи проведем прямую Тригонометрические неравенства с примерами решениярис. 25.3).

Эта прямая пересекает график функции Тригонометрические неравенства с примерами решения, Тригонометрические неравенства с примерами решенияв точках Тригонометрические неравенства с примерами решения и Тригонометрические неравенства с примерами решения, абсциссы Тригонометрические неравенства с примерами решения и Тригонометрические неравенства с примерами решениякоторых равны Тригонометрические неравенства с примерами решения и Тригонометрические неравенства с примерами решениясоответственно. Из рис. 25.3 видно, что решения неравенства (3) на отрезке Тригонометрические неравенства с примерами решения образуют интервал Тригонометрические неравенства с примерами решения а множество всех решений неравенства (3) — это совокупность интервалов, каждый

Тригонометрические неравенства с примерами решения

из которых можно получить сдвигом интервала Тригонометрические неравенства с примерами решения по оси Тригонометрические неравенства с примерами решения на Тригонометрические неравенства с примерами решения, где Тригонометрические неравенства с примерами решения

Ответ. Тригонометрические неравенства с примерами решения

Пример №305.

Решить неравенство

Тригонометрические неравенства с примерами решения Тригонометрические неравенства с примерами решения

Решение:

Первый способ. Построим графики функций Тригонометрические неравенства с примерами решенияи Тригонометрические неравенства с примерами решения (рис. 25.4). Функция Тригонометрические неравенства с примерами решенияявляется периодической с периодом Тригонометрические неравенства с примерами решения. Поэтому достаточно найти решения неравенства (4) на отрезке длиной Тригонометрические неравенства с примерами решения . В качестве такого отрезка выберем отрезок Тригонометрические неравенства с примерами решения. На этом отрезке прямая Тригонометрические неравенства с примерами решения пересекает график функции Тригонометрические неравенства с примерами решения в точках Тригонометрические неравенства с примерами решения и Тригонометрические неравенства с примерами решения, абсциссыТригонометрические неравенства с примерами решенияи Тригонометрические неравенства с примерами решения которых равны Тригонометрические неравенства с примерами решения и Тригонометрические неравенства с примерами решениясоответственно. Из рис. 25.4 видно, что решениями неравенства (4) на отрезке Тригонометрические неравенства с примерами решения являются все числа интервала

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тригонометрические неравенства с примерами решения Поэтому множество всех решений неравенства (4) — это объединение интервалов вида

Тригонометрические неравенства с примерами решения Тригонометрические неравенства с примерами решения

Ответ. Тригонометрические неравенства с примерами решения

Второй способ. Построим единичную окружность и проведем через точку оси Тригонометрические неравенства с примерами решенияс ординатой Тригонометрические неравенства с примерами решения прямую Тригонометрические неравенства с примерами решения, параллельную оси Тригонометрические неравенства с примерами решения(см. рис. 25.5).

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Прямая Тригонометрические неравенства с примерами решения пересекает единичную окружность в точках Тригонометрические неравенства с примерами решения и Тригонометрические неравенства с примерами решения

ТочкеТригонометрические неравенства с примерами решения соответствует угол в Тригонометрические неравенства с примерами решения радиан, а точке Тригонометрические неравенства с примерами решения — угол в Тригонометрические неравенства с примерами решения радиан. Из рис. 25.5 видно, что все точки единичной окружности, расположенные ниже прямой Тригонометрические неравенства с примерами решения, имеют ординату, меньшую Тригонометрические неравенства с примерами решения

Итак, множество всех решений неравенства (4) представляет собой совокупность интервалов вида (5).

Пример №306.

Решить неравенство

Тригонометрические неравенства с примерами решения Тригонометрические неравенства с примерами решения

Решение:

Неравенство (6) равносильно неравенству

Тригонометрические неравенства с примерами решения Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Построим график функции Тригонометрические неравенства с примерами решения и проведем прямую Тригонометрические неравенства с примерами решения (рис. 25.6). Функция Тригонометрические неравенства с примерами решения является периодической с периодом Тригонометрические неравенства с примерами решения, а на отрезке Тригонометрические неравенства с примерами решения уравнение Тригонометрические неравенства с примерами решения имеет корни Тригонометрические неравенства с примерами решения и Тригонометрические неравенства с примерами решенияИз рис. 25.6 видно, что решениями неравенства (7) на отрезкеТригонометрические неравенства с примерами решения являются все числа из интервала Тригонометрические неравенства с примерами решенияМножество решений неравенства (7) — это объединение интервалов, каждый из которых можно получить сдвигом интервала Тригонометрические неравенства с примерами решения по оси Тригонометрические неравенства с примерами решения на Тригонометрические неравенства с примерами решения, где Тригонометрические неравенства с примерами решения

Ответ. Тригонометрические неравенства с примерами решения

Пример №307.

Решить неравенство

Тригонометрические неравенства с примерами решения Тригонометрические неравенства с примерами решения

Решение:

Функция Тригонометрические неравенства с примерами решения является периодической с периодом Тригонометрические неравенства с примерами решения. Построим график функции Тригонометрические неравенства с примерами решения: на интервале Тригонометрические неравенства с примерами решенияи проведем прямую Тригонометрические неравенства с примерами решения (см. рис. 25.7). Функция Тригонометрические неравенства с примерами решения возрастает на интервале Тригонометрические неравенства с примерами решения, а прямая Тригонометрические неравенства с примерами решенияпересекает график этой функции в точке с абсциссой Тригонометрические неравенства с примерами решения.

Поэтому решениями неравенства (8) на интервале Тригонометрические неравенства с примерами решения являются все числаТригонометрические неравенства с примерами решения из интервала Тригонометрические неравенства с примерами решения а множество всех решении неравенства (8) представляет собой совокупность интервалов вида

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Ответ. Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Пример №308.

Решить неравенство

Тригонометрические неравенства с примерами решения Тригонометрические неравенства с примерами решения

Решение:

Полагая Тригонометрические неравенства с примерами решения, получаем квадратное неравенство Тригонометрические неравенства с примерами решения, равносильное неравенству Тригонометрические неравенства с примерами решения

Поэтому неравенство (9) равносильно каждому из неравенств

Тригонометрические неравенства с примерами решения Тригонометрические неравенства с примерами решения

На отрезке Тригонометрические неравенства с примерами решения уравнение Тригонометрические неравенства с примерами решения имеет корни Тригонометрические неравенства с примерами решенияи Тригонометрические неравенства с примерами решения(см. рис. 25.1), а решениями неравенства (10) на этом отрезке являются все числа из интервалаТригонометрические неравенства с примерами решения.

Множество решений неравенства (10) и равносильного ему неравенства (9) представляет собой объединение интервалов вида

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Ответ.Тригонометрические неравенства с примерами решения

Пример №309.

Решить неравенство

Тригонометрические неравенства с примерами решения Тригонометрические неравенства с примерами решения

Решение:

Первый способ. Используя тождество Тригонометрические неравенства с примерами решениязаменим неравенство (11) равносильным ему:

Тригонометрические неравенства с примерами решения Тригонометрические неравенства с примерами решения

Как и при решении однородных тригонометрических уравнений, сведем неравенство (12) к квадратному относительно Тригонометрические неравенства с примерами решения Рассмотрим два возможных случая: Тригонометрические неравенства с примерами решения

1) ПустьТригонометрические неравенства с примерами решения, тогда Тригонометрические неравенства с примерами решенияи неравенство (12) примет вид Тригонометрические неравенства с примерами решения Следовательно, все значения Тригонометрические неравенства с примерами решения, удовлетворяющие уравнению Тригонометрические неравенства с примерами решения, т. е. числа

Тригонометрические неравенства с примерами решения Тригонометрические неравенства с примерами решения

являются решениями неравенства (12).

2) Пусть Тригонометрические неравенства с примерами решения тогда Тригонометрические неравенства с примерами решения и неравенство (12) равносильно каждому из неравенств

Тригонометрические неравенства с примерами решения Тригонометрические неравенства с примерами решения

а неравенство (14) равносильно совокупности неравенств

Тригонометрические неравенства с примерами решения Тригонометрические неравенства с примерами решения

На интервале Тригонометрические неравенства с примерами решения решения неравенства (15) — это все числа из интервала Тригонометрические неравенства с примерами решения , а решения неравенства (16) все числа из интервала Тригонометрические неравенства с примерами решенияСледовательно, на интервале Тригонометрические неравенства с примерами решения решениями неравенства (12), равносильного (11), являются все числа из интервалов Тригонометрические неравенства с примерами решения и Тригонометрические неравенства с примерами решения, а также число Тригонометрические неравенства с примерами решения, т. е. все числа , принадлежащие интервалуТригонометрические неравенства с примерами решения

Так как функция Тригонометрические неравенства с примерами решенияпериодическая с периодом Тригонометрические неравенства с примерами решения, то множество всех решений неравенства (12) представляет собой совокупность интервалов вида Тригонометрические неравенства с примерами решенияТригонометрические неравенства с примерами решения

Ответ.

Тригонометрические неравенства с примерами решения Тригонометрические неравенства с примерами решения

Второй способ. Неравенство (11) равносильно каждому из следующих неравенств:

Тригонометрические неравенства с примерами решения
Тригонометрические неравенства с примерами решения

где Тригонометрические неравенства с примерами решенияОтсюда находим

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Заметим, что

Тригонометрические неравенства с примерами решения

где Тригонометрические неравенства с примерами решения Поэтому двойное неравенство (18) но записать в виде (17).

Пример №310.

Решить неравенство

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Решение:

Найдем решения неравенства на отрезке длиной Тригонометрические неравенства с примерами решения. Все значения Тригонометрические неравенства с примерами решения из интервала Тригонометрические неравенства с примерами решения — решения неравенства, так как Тригонометрические неравенства с примерами решения при Тригонометрические неравенства с примерами решения а левая часть неравенства определена и неотрицательна при всех Тригонометрические неравенства с примерами решения.

Пусть Тригонометрические неравенства с примерами решения, тогда исходное неравенство равносильно каждому из неравенств

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Так как Тригонометрические неравенства с примерами решения то Тригонометрические неравенства с примерами решения откуда Тригонометрические неравенства с примерами решенияТригонометрические неравенства с примерами решения

Итак, на отрезке Тригонометрические неравенства с примерами решения, решениями исходного неравенства являются все числа из интервала Тригонометрические неравенства с примерами решения

Ответ. Тригонометрические неравенства с примерами решения

Пример №311.

Доказать, что если Тригонометрические неравенства с примерами решения — углы треугольника, то

Тригонометрические неравенства с примерами решения Тригонометрические неравенства с примерами решения

Решение:

Обозначим левую часть неравенства (19) через Тригонометрические неравенства с примерами решения и выразим произведение синусов через разность косинусов. Тогда получим

Тригонометрические неравенства с примерами решения

так как Тригонометрические неравенства с примерами решения Полагая Тригонометрические неравенства с примерами решения и применяя метод выделения полного квадрата, имеем

Тригонометрические неравенства с примерами решения

откуда следует, что

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Неравенство (19) доказано.

Пример №312.

Доказать, что если Тригонометрические неравенства с примерами решения то верно неравенство

Тригонометрические неравенства с примерами решения Тригонометрические неравенства с примерами решения

Решение:

Так как Тригонометрические неравенства с примерами решения при Тригонометрические неравенства с примерами решения то, разделив числитель и знаменатель левой части неравенства (20) на Тригонометрические неравенства с примерами решения получим равносильное ему неравенство 1

Тригонометрические неравенства с примерами решения Тригонометрические неравенства с примерами решения

Обозначим левую часть неравенства (21) через Тригонометрические неравенства с примерами решения и воспользуемся формулой Тригонометрические неравенства с примерами решения Тогда задача сведется к доказатель- ству неравенства

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Полагая Тригонометрические неравенства с примерами решенияполучаем Тригонометрические неравенства с примерами решения где Тригонометрические неравенства с примерами решения Заметим, что

Тригонометрические неравенства с примерами решенияпри Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тригонометрические неравенства с примерами решения

и поэтому

Тригонометрические неравенства с примерами решения

т. е. Тригонометрические неравенства с примерами решения что и требовалось доказать.

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Логарифмические неравенства с постоянными основаниями с примерами решения
Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения
Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения
Пример решения линейных неравенств с двумя переменными