Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Тригонометрические уравнения различных видов

Примеры с решениями

Пример №153.

Решить уравнение

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Решение:

Воспользуемся формулой

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

полученной в §4 (см. замечание к примеру 9). Тогда исходное уравнение можно записать в виде

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Ответ. Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Пример №154.

Решить уравнение Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Решение:

Используя тождество

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

(см. §4, пример 5), запишем уравнение в виде Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения откуда находим Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Ответ. Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Пример №155.

Решить уравнение Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Решение:

Используя тождество

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

(см. §4, пример 4, в), запишем данное уравнение в виде

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

откуда находим Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Ответ. Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Пример №156.

Решить уравнение

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Решение:

Первый способ. Запишем уравнение (1) в виде

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Так как Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решениято уравнение (2) равносильно совокупности уравнений

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Уравнение (3) имеет корни Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения а уравнение (4) сводится к однородному

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

которое равносильно уравнению

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

откуда Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Ответ. Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Второй способ. Уравнение (1) можно последовательно преобразовать так:

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Дальнейшие действия очевидны.

Третий способ. Используя формулу Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения последовательно преобразуем уравнение (1):

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Снова убеждаемся в том, что уравнение (1) равносильно совокупности уравнений (3), (4).

Пример №157.

Найти все значения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения из интервала Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения удовлетворяющие уравнению

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Решение:

Так как Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения то ОДЗ уравнения (5) определяется условием Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения, т. е.

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

При выполнении условия (6) уравнение (5) равносильно каждому из уравнений:

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решенияТригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Уравнение (7) имеет корни

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Неравенству Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решенияи условию (6) могут удовлетворять лишь те значения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения, определяемые формулой (8), которые соответствуют значениям Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения , равным Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Придавая Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения эти значения, по формуле (8) находим числа Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения из которых лишь Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения и Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения удовлетворяют условию (6).

Ответ. Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Пример №159.

Решить уравнение

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Решение:

Исходное уравнение равносильно уравнению

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

а допустимые значения х для уравнения (9) определяются условиями

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

При выполнении условия (10) уравнение

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

является следствием уравнения (9) и равносильно уравнению

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Корнями уравнения (9) являются все те и только те корни уравнения (11), которые удовлетворяют условиям (10).

Так как Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решенияа Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения силу (10), то из (11) следует, что

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Корни уравнения (12) удовлетворяют условиям (10) и являются корнями исходного уравнения.

Ответ. Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Пример №160.

Решить уравнение

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Решение:

Пусть Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения тогда Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения и уравнение (13) примет вид

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

1) Если Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения то из (14) следует, что Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Это уравнение не имеет корней. Поэтому уравнение (13) не имеет корней в случае, когда Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

2) Если Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения то из уравнения (14) следует, что Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решенияоткуда

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Если Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения то либо Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения, значит, Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решениялибо Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения, значит, Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решенияЕсли Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения то либо Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решенияи, значит, Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решениялибо Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения и, значит, Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Ответ. Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Пример №161.

Решить уравнение

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Решение:

Допустимые значения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения определяются условиями

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Преобразуем уравнение (15):

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Уравнение (17) является следствием уравнения (15), а при выполнении условий (16) оно равносильно уравнению (15). Применив формулу Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения запишем уравнение (17) в виде

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

или

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

так как Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решенияв силу условий (16).

Используя формулу Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решенияпреобразуем уравнение (18) к виду Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения откуда Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Найденные значения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения удовлетворяют условиям (16) и являются корнями уравнения (15).

Ответ. Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Пример №162.

Решить уравнение

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Решение:

Допустимые значения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения определяются условиями

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Используя равенства

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

запишем уравнение (19) в виде

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

или

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

При выполнении условий (20) уравнение (22) равносильно каждому из следующих уравнений:

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Применив формулу Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения запишем уравнение (23) в виде

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Так как Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения в силу условий (20), то из (24) следует, что Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Ответ. Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Замечание. Выразив Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения и Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения через Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения, преобразуем уравнение (21) к виду Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения откуда следует, что Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения или Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Пример №163.

Решить уравнение

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Решение:

Допустимые значения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения определяются условиями

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

так как Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения если Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Считая условия (26) выполненными, преобразуем последовательно уравнение (25):

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Если Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения то Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решенияПоэтому решение сводится к нахождению тех корней уравнений Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решениякоторые удовлетворяют условиям (26).

Уравнение Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения имеет корни

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

а уравнение Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения имеет корни

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Серия корней (27) удовлетворяет условиям (26). Для серии корней (28) условие Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения выполняется, а равенство

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

является верным тогда и только тогда, когда Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения где Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения, Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения — целые числа. Так как числа 5 и 9 взаимно просты, то число Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения является целым в том и только в том случае, когда Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения где Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения — целое число.

Ответ. Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решенияТригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Решение уравнений с помощью введения вспомогательного угла, методом замены неизвестного и разложения на множители, с помощью формул понижения степени примеры с решением
Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей с примерами решения
Системы линейных уравнений с примерами решения
Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением