Цилиндрические поверхности
Поверхность, образованная движением прямой 
, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую кривую 
, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром. При этом кривая называется направляющей цилиндра, а прямая — его образующей (см. рис. 83).
Будем рассматривать цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости.
Пусть в плоскости 
лежит некоторая линия , уравнение которой
Построим цилиндр с образующими параллельными оси 
и направляющей .
Теорема 12.1. Уравнение цилиндра, образующие которого параллельны оси , имеет вид (12.21), т. е. не содержит координаты 
.
Возьмем на цилиндре любую точку 
(см. рис. 84). Она лежит на какой-то образующей. Пусть 
— точка пересечения этой образующей с плоскостью . Следовательно, точка лежит на кривой и ее координаты удовлетворяют уравнению (12.21).
Но точка 
имеет такие же абсциссу 
и ординату 
, что и точка . Следовательно, уравнению (12.21) удовлетворяют и координаты точки , так как оно нс содержит . И так как — это любая точка цилиндра, то уравнение (12.21) и будет уравнением этого цилиндра.
Теперь ясно, что 
есть уравнение цилиндра с образующими, параллельными оси 
, a 
— с образующими, параллельными оси 
. Название цилиндра определяется названием направляющей. Если направляющей служит эллипс
в плоскости , то соответствующая цилиндрическая поверхность называется эллиптическим цилиндром (см. рис. 85).
Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр, его уравнение 
. Уравнение 
определяет в пространстве параболический цилиндр (см. рис. 86). Уравнение
определяет в пространстве гиперболический цилиндр (см. рис. 87).
Все эти поверхности называются цилиндрами второго порядка, так как их уравнения есть уравнения второй степени относительно текущих координат 
и .
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Прямая линия в пространстве |
| Прямая и плоскость в пространстве |
| Поверхности вращения |
| Множество действительных чисел |
