Оглавление:
Циркуляция векторного поля
Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Возьмем в этом поле некоторую замкнутую кривую 
и выберем на ней определенное направление.
Пусть 
— радиус-вектор точки 
на контуре . Известно, что вектор 
направлен по касательной к кривой в направлении ее обхода (см. рис. 276) и 
, где 
— дифференциал дуги кривой 
.
Криволинейный интеграл по замкнутому контуру от скалярного произведения вектора 
на вектор 
, касательный к контуру ,
называется циркуляцией вектора а вдоль , т. е.
Рассмотрим различные формы записи циркуляции. Так как
где 
— проекция вектора на касательную 
, проведенную в направлении обхода кривой , то равенство (71.10) можно записать в виде
или
Циркуляция 
, записанная в виде (71.12) имеет простой физический смысл: если кривая расположена в силовом поле, то циркуляция — это работа силы 
поля при перемещении материальной точки вдоль (п. 56.5).
Отметим, что вдоль замкнутых векторных линий циркуляция отлична от нуля, потому что в каждой точке векторной линии скалярное произведение 
сохраняет знак: положительный, если направление вектора совпадает с направлением обхода векторной линии; отрицательный — в противном случае.
Пример №71.5.
Найти циркуляцию вектора ноля линейных скоростей вращающегося тела (см. пример 69.2) 
вдоль замкнутой кривой , лежащей в плоскости о, перпендикулярной оси вращения.
Решение:
Будем считать, что направление нормали к плоскости 
совпадает с направлением оси 
. Согласно формуле (71.12), имеем:
где 
— площадь поверхности, ограниченной кривой (см. 56.17).
Заметим, что если нормаль к поверхности образует угол 
с осью Oz, то циркуляция будет равна 
; с изменением угла величина изменяется.
Пример №71.6.
Вычислить циркуляцию векторного поля
вдоль периметра треугольника с вершинами 
(см. рис. 277).
Решение:
Согласно формуле (71.12), имеем:
На отрезке 
, следовательно,
На отрезке 
, следовательно,
На отрезке 
, следовательно,
Следовательно,
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Градиент скалярного поля и его свойства |
| Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса |
| Ротор векторного поля. Формула Стокса |
| Свойства основных классов векторных полей |
