Тяжелый шарик, масса которого равна , нанизан на горизонтальную проволочную окружность

Задача №52.

Тяжелый шарик, масса которого равна , нанизан на горизонтальную проволочную окружность радиуса с коэффициентом трения . Определить, какую начальную скорость нужно сообщить шарику, чтобы он сделал по окружности один полный оборот.

Решение:

На материальную точку действует только одна активная сила — сила тяжести. Кроме нее на шарик действуют пассивные силы — нормальная сила реакции и сила трения. Уравнения движения в проекциях на естественные оси координат получают вид

где и — горизонтальная и вертикальная составляющие нормальной реакции

Первое уравнение движения после исключении получает вид

Разделяя переменные, отсюда будем иметь

и после интегрирования получим

Здесь — произвольная постоянная, которая определяется из начальных условий, так что

При

обращается в нуль, поэтому

Это уравнение легко преобразуется к виду

откуда получаем

Задача взята со страницы подробного решения задач по всем темам теоретической механики:

Решение задач по теоретической механике

Возможно эти дополнительные задачи вам будут полезны:

Задача №50. Тяжелое колечко массы надето на гладкую вертикально расположенную проволочную окружность радиуса . Колечко может свободно передвигаться по ней. В начальный момент оно находится в самой нижней точке окружности и ему сообщена начальная скорость . Найти условия, при которых колечко совершит полный оборот по окружности и определить давление на нее колечка, когда оно находится в самой верхней ее точке.
Задача №51. По внешней стороне параболы с горизонтальной осью, уравнение которой , скатывается без трения и без начальной скорости шарик, начальная ордината которого . В какой точке шарик соскочит с параболы?
Задача №53. Тяжелая материальная точка движется по внутренней поверхности прямого кругового конуса, вершина которого обращена вниз, а ось симметрии вертикальна. Угол при вершине равен . В начальный момент расстояние точки от вершины конуса равно , начальная скорость равна и направлена перпендикулярно к образующей конуса. Определить траекторию точки и давление, которое она оказывает на поверхность конуса.
Задача №54. Тяжелая материальная точка вынуждена оставаться на совершенно гладкой плоскости, которая равномерно вращается вокруг горизонтальной оси, расположенной в самой плоскости. В начальный момент точка находится на оси вращения, а ее скорость направлена вдоль оси вращения и равна . Определить закон движения точки.