Угловая скорость тела как вектор

Угловая скорость тела как вектор. Выражение скорости точки тела в виде векторного произведения. Понятие о свободном движении твердого тела

Вектором угловой скорости тела называется вектор, направленный вдоль оси вращения так, чтобы, смотря с конца его, мы видели вращение тела совершающимся против хода стрелки часов (рис. 121, а и б).

Угловая скорость тела как вектор

Вектор Угловая скорость тела как вектор есть вектор скользящий, т. е. за его начало можно взять любую точку, лежащую на оси вращения тела.

В случае вращения тела вокруг неподвижной оси модуль этого вектора равен абсолютному значению производной от угла поворота тела по времени Угловая скорость тела как векторУгловая скорость тела как вектор.

Задание вектора Угловая скорость тела как вектор угловой скорости полностью определяет вращательное движение тела, так как позволяет знать положение оси вращения тела, сторону вращения и численное значение угловой скорости.

Отложим на оси вращения из какой-либо произвольной ее точки Угловая скорость тела как вектор вектор Угловая скорость тела как вектор угловой скорости тела и из этой же точки проведем радиус-вектор Угловая скорость тела как вектор, определяющий положение данной точки тела (рис. 122).

Вспоминая еще раз (стр. 62) понятие о векторном произведении двух векторов, мы придем к выводу, что скорость Угловая скорость тела как вектор любой точки вращающегося твердого тела равна векторному произведению вектора Угловая скорость тела как вектор угловой скорости тела на радиус-вектор Угловая скорость тела как вектор данной точки Угловая скорость тела как вектор (если за начало этого радиуса-вектора взята точка на оси вращения тела):

Угловая скорость тела как вектор
Угловая скорость тела как вектор

В самом деле, из прямоугольного треугольника Угловая скорость тела как вектор будем иметь Угловая скорость тела как вектор, где Угловая скорость тела как вектор — расстояние точки Угловая скорость тела как вектор до оси вращения. Модуль векторного произведения

Угловая скорость тела как вектор

Направлен же вектор

Угловая скорость тела как вектор

так же как и вектор Угловая скорость тела как вектор, перпендикулярно к плоскости Угловая скорость тела как вектор и в сторону вращения тела, т. е. в сторону, откуда кратчайший переход от Угловая скорость тела как вектор к Угловая скорость тела как вектор будет представляться совершающимся против хода стрелки часов.

Любое движение свободного твердого тела, как это доказывается в более полных курсах механики, можно считать составленным из двух движений: поступательного движения со скоростью произвольно выбранной точки тела (полюса) и вращательного движения вокруг некоторой оси, проходящей через выбранный полюс.

Каждому моменту времени (мгновению) соответствует свое положение этой оси в пространстве и относительно данного тела, и поэтому, в отличие от неподвижной оси, она называется мгновенной осыо вращения тела.

Угловая скорость вращения тела вокруг мгновенной оси называется мгновенной угловой скоростью.

Мгновенную угловую скорость тела, как и в случае вращения тела вокруг неподвижной оси, можно представить в виде вектора, направленного вдоль мгновенной оси. Вследствие непрерывного изменения положения мгновенной оси, вектор Угловая скорость тела как вектор мгновенной угловой скорости изменяется со временем не только по абсолютной величине, по и по направлению.

Скорости точек тела, лежащих на мгновенной оси, равны нулю. Отсюда следует, что скорости любых точек тела при его вращении вокруг мгновенной оси можно вычислять в каждый данный момент времени по установленной выше формуле (91)

Угловая скорость тела как вектор

где Угловая скорость тела как вектор — соответствующий данному моменту времени вектор мгновенной угловой скорости тела и Угловая скорость тела как вектор — радиус-вектор точки, имеющий начало на мгновенной оси вращения.

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Теоретическая механика — задачи с решением и примерами

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела + пример с решением
Частные случаи вращательного движения твердого тела + пример с решением
Абсолютное, относительное и переносное движения точки
Теорема о сложении скоростей + пример с решением