Оглавление:
Уравнение и его корни. Преобразование уравнений
Основные понятия, относящиеся к уравнениям
Рассмотрим равенство
где и — некоторые функции. Когда говорят, что равенство (1) есть уравнение, то это означает, что равенство (1) рассматривается как неопределенное высказывание, при одних значениях истинное, при других — ложное, и ставится задача — найти значения , при подстановке которых это неопределенное высказывание становится истинным. Такие числа называют корнями уравнения (1).
Рассмотрим подробно основные понятия, связанные с уравнениями.
Число называется корнем (или решением) уравнения (1), если обе части уравнения (1) определены при и равенство является верным. Следовательно, каждый корень уравнения (1) принадлежит множеству, которое является пересечением (общей частью) областей определения функций и и называется областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения (1).
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Если в условиях задачи не указано, на каком множестве нужно решить уравнение, то решение следует искать на ОДЗ этого уравнения.
Пусть функции и определены на множестве и равенство (1) верно для каждого Тогда говорят, что это равенство является тождеством на множестве . Например, равенства
являются тождествами на множестве действительных чисел , а равенство
представляет собой тождество лишь на множестве неотрицательных чисел.
В процессе решения часто приходится преобразовывать уравнение, заменяя его более простыми (с точки зрения нахождения корней).
Какие-либо общие рекомендации по поводу преобразования уравнений дать невозможно. Однако есть правило, которое не следует забывать:
нельзя выполнять преобразования, которые приводят к потере корней.
Назовем преобразование уравнения (1) допустимым, если при этом преобразовании не происходит потери корней, т. е. получается уравнение
которое либо имеет те же корни, что и уравнение (1), либо, кроме всех корней уравнения (1), имеет посторонний для уравнения (1) корень. В связи с этим используют следующие понятия.
Уравнение (2) называется следствием уравнения (1), если каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2).
Уравнения (1) и (2) называются равносильными (эквивалентными), если каждое из этих уравнений является следствием другого. Иными словами, уравнения (1) и (2) равносильны, если каждый корень уравнения (1) есть корень уравнения (2) и обратно, каждый корень уравнения (2) есть корень уравнения (1). Уравнения, не имеющие корней, считаются равносильными.
Например, уравнение равносильно уравнению , а уравнение — следствие уравнения Если уравнения (1) и (2) равносильны, то пишут
а если уравнение (2) является следствием уравнения (1), то пишут
Отметим, что если исходное уравнение с помощью допустимых преобразований заменено другим, причем в процессе преобразований хотя бы один раз уравнение заменялось на неравносильное ему следствие, то проверка найденных корней с помощью подстановки в исходное уравнение является обязательной.
Если же при каждом преобразовании уравнение заменялось на равносильное, то проверка не нужна (не следует путать проверку с контролем вычислений).
Рассмотрим еще одно понятие, связанное с решением уравнений. Будем говорить, что уравнение (1) равносильно совокупности уравнений
если выполнены следующие условия:
1) каждый корень уравнения (1) является корнем по крайней мере одного из уравнений (3);
2) любой корень каждого из уравнений (3) является корнем уравнения (1).
При выполнении указанных условий множество корней уравнения (1) является объединением множества корней уравнений (3). Например, уравнение
равносильное совокупности уравнений
имеет корни
Если уравнение записано в виде
то каждое решение этого уравнения является решением по крайней мере одного из уравнений
f
Однако нельзя утверждать, что любой корень каждого из уравнений (5) есть корень уравнения (4).
Например, если то — корень уравнения но число 3 не является корнем уравнения (4), так как функция не определена при .
Таким образом, в общем случае нельзя утверждать, что уравнение (4) равносильно совокупности уравнений (5). Чтобы решить уравнение (4), достаточно найти корни уравнений и , а затем отбросить те, которые не входят в ОДЗ уравнения (4), т. е. не принадлежат множеству, на котором определены функции и . В ОДЗ уравнения (4) это уравнение равносильно совокупности уравнений (5). Справедливо более общее утверждение:
Если функция определена при всех таких, что , а функция определена при всех таких, что , то уравнение (4) равносильно совокупности уравнений (5).
Наиболее важные приемы преобразования уравнений.
а) Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, т. е. переход от уравнения
к уравнению
Указанное преобразование приводит к равносильному уравнению, т. е.
В частности,
Заметим, что здесь речь идет только о переносе членов уравнения из одной части в другую без последующего приведения подобных членов (если таковые имеются).
б) Приведение подобных членов, т. е. переход от уравнения
к уравнению
Справедливо следующее легко проверяемое утверждение:
Для любых функций уравнение (4) является следствием уравнения (3), т. е.
Переход от уравнения (3) к уравнению (4) является допустимым преобразованием, при котором потеря корней невозможна, но могут появиться посторонние корни. Все сказанное остается в силе при замене уравнения (3) уравнением
Таким образом, при приведении подобных членов, а также при отбрасывании одинаковых слагаемых в левой и правой частях уравнения получается уравнение, являющееся следствием исходного уравнения.
Например, если в левой и правой частях уравнения
вычеркнуть слагаемое , то получится уравнение
являющееся следствием исходного: второе уравнение имеет корни а первое — единственный корень
Отметим еще, что если ОДЗ уравнения (4) содержится в области определения функции , то уравнения (3) и (4) равносильны.
в) Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию, т. е. переход от уравнения (4) к уравнению
Справедливы следующие утверждения:
1°. Если ОДЗ уравнения (4), т. е. пересечение областей определения функций и , содержится в области определения функции , то уравнение (5) является следствием уравнения (4).
2°. Если функция определена и отлична от нуля в ОДЗ уравнения (4), то уравнения (4) и (5) равносильны.
Заметим, что в общем случае переход от уравнения (5) к уравнению (4) недопустим: этот переход может привести к потере корней.
При решении уравнения вида (5) обычно заменяют его равносильным уравнением
затем находят корни уравнений
и, наконец, проверяют, какие из этих корней удовлетворяют уравнению (5).
г) Возведение обеих частей уравнения в натуральную степень, т. е. переход от уравнения
к уравнению
Справедливы следующие утверждения:
1°. При любом уравнение (7) является следствием уравнения (6).
2°. Если (n — нечетное число), то уравнения (6) и (7) равносильны.
3°. Если (n — нечетное число), то уравнение (7) равносильно уравнению
а уравнение (8) равносильно совокупности уравнений
В частности, уравнение
равносильно совокупности уравнений (9). Если обе функции и принимают значения одного знака (например, и в ОДЗ уравнения (6), то уравнение (10) равносильно уравнению (6).
Более общим, чем переход к уравнению (7), является переход от уравнения (6) к уравнению
где — некоторая заданная функция.
Заметим, что в общем случае такой переход недопустим. В том случае, когда пересечение множеств значений функций и содержится в области определения функции , уравнение (11) является следствием уравнения (6). Если, кроме того, известно, что — строго возрастающая или строго убывающая функция, то уравнения (6) и (11) равносильны.
Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
Арктангенс с примерами решения |
Числовые неравенства примеры с решением |
Рациональные уравнения примеры с решением |
Иррациональные уравнения примеры с решением |