Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

Основные понятия, относящиеся к уравнениям

Рассмотрим равенство

Уравнение и его корни. Преобразование уравнений Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

где Уравнение и его корни. Преобразование уравнений и Уравнение и его корни. Преобразование уравнений — некоторые функции. Когда говорят, что равенство (1) есть уравнение, то это означает, что равенство (1) рассматривается как неопределенное высказывание, при одних значениях Уравнение и его корни. Преобразование уравнений истинное, при других — ложное, и ставится задача — найти значения Уравнение и его корни. Преобразование уравнений, при подстановке которых это неопределенное высказывание становится истинным. Такие числа называют корнями уравнения (1).

Рассмотрим подробно основные понятия, связанные с уравнениями.

Число Уравнение и его корни. Преобразование уравнений называется корнем (или решением) уравнения (1), если обе части уравнения (1) определены при Уравнение и его корни. Преобразование уравнений и равенство Уравнение и его корни. Преобразование уравненийявляется верным. Следовательно, каждый корень уравнения (1) принадлежит множеству, которое является пересечением (общей частью) областей определения функций Уравнение и его корни. Преобразование уравнений и Уравнение и его корни. Преобразование уравнений и называется областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения (1).

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Если в условиях задачи не указано, на каком множестве нужно решить уравнение, то решение следует искать на ОДЗ этого уравнения.

Пусть функции Уравнение и его корни. Преобразование уравнений и Уравнение и его корни. Преобразование уравнений определены на множестве Уравнение и его корни. Преобразование уравнений и равенство (1) верно для каждого Уравнение и его корни. Преобразование уравнений Тогда говорят, что это равенство является тождеством на множестве Уравнение и его корни. Преобразование уравнений. Например, равенства

Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

являются тождествами на множестве действительных чисел Уравнение и его корни. Преобразование уравнений, а равенство

Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

представляет собой тождество лишь на множестве неотрицательных чисел.

В процессе решения часто приходится преобразовывать уравнение, заменяя его более простыми (с точки зрения нахождения корней).

Какие-либо общие рекомендации по поводу преобразования уравнений дать невозможно. Однако есть правило, которое не следует забывать:

нельзя выполнять преобразования, которые приводят к потере корней.

Назовем преобразование уравнения (1) допустимым, если при этом преобразовании не происходит потери корней, т. е. получается уравнение

Уравнение и его корни. Преобразование уравнений Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

которое либо имеет те же корни, что и уравнение (1), либо, кроме всех корней уравнения (1), имеет посторонний для уравнения (1) корень. В связи с этим используют следующие понятия.

Уравнение (2) называется следствием уравнения (1), если каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2).

Уравнения (1) и (2) называются равносильными (эквивалентными), если каждое из этих уравнений является следствием другого. Иными словами, уравнения (1) и (2) равносильны, если каждый корень уравнения (1) есть корень уравнения (2) и обратно, каждый корень уравнения (2) есть корень уравнения (1). Уравнения, не имеющие корней, считаются равносильными.

Например, уравнение Уравнение и его корни. Преобразование уравнений равносильно уравнению Уравнение и его корни. Преобразование уравнений, а уравнение Уравнение и его корни. Преобразование уравнений — следствие уравнения Уравнение и его корни. Преобразование уравнений Если уравнения (1) и (2) равносильны, то пишут

Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

а если уравнение (2) является следствием уравнения (1), то пишут

Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

Отметим, что если исходное уравнение с помощью допустимых преобразований заменено другим, причем в процессе преобразований хотя бы один раз уравнение заменялось на неравносильное ему следствие, то проверка найденных корней с помощью подстановки в исходное уравнение является обязательной.

Если же при каждом преобразовании уравнение заменялось на равносильное, то проверка не нужна (не следует путать проверку с контролем вычислений).

Рассмотрим еще одно понятие, связанное с решением уравнений. Будем говорить, что уравнение (1) равносильно совокупности уравнений

Уравнение и его корни. Преобразование уравнений Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

если выполнены следующие условия:

1) каждый корень уравнения (1) является корнем по крайней мере одного из уравнений (3);

2) любой корень каждого из уравнений (3) является корнем уравнения (1).

При выполнении указанных условий множество корней уравнения (1) является объединением множества корней уравнений (3). Например, уравнение

Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

равносильное совокупности уравнений

Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

имеет корни Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

Если уравнение записано в виде

Уравнение и его корни. Преобразование уравнений Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

то каждое решение этого уравнения является решением по крайней мере одного из уравнений

fУравнение и его корни. Преобразование уравнений Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

Однако нельзя утверждать, что любой корень каждого из уравнений (5) есть корень уравнения (4).

Например, если Уравнение и его корни. Преобразование уравнений то Уравнение и его корни. Преобразование уравнений — корень уравнения Уравнение и его корни. Преобразование уравнений но число 3 не является корнем уравнения (4), так как функция Уравнение и его корни. Преобразование уравнений не определена при Уравнение и его корни. Преобразование уравнений.

Таким образом, в общем случае нельзя утверждать, что уравнение (4) равносильно совокупности уравнений (5). Чтобы решить уравнение (4), достаточно найти корни уравнений Уравнение и его корни. Преобразование уравнений и Уравнение и его корни. Преобразование уравнений, а затем отбросить те, которые не входят в ОДЗ уравнения (4), т. е. не принадлежат множеству, на котором определены функции Уравнение и его корни. Преобразование уравнений и Уравнение и его корни. Преобразование уравнений. В ОДЗ уравнения (4) это уравнение равносильно совокупности уравнений (5). Справедливо более общее утверждение:

Если функция Уравнение и его корни. Преобразование уравнений определена при всех Уравнение и его корни. Преобразование уравнений таких, что Уравнение и его корни. Преобразование уравнений, а функция Уравнение и его корни. Преобразование уравнений определена при всех Уравнение и его корни. Преобразование уравнений таких, что Уравнение и его корни. Преобразование уравнений, то уравнение (4) равносильно совокупности уравнений (5).

Наиболее важные приемы преобразования уравнений.

а) Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, т. е. переход от уравнения

Уравнение и его корни. Преобразование уравнений Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

к уравнению

Уравнение и его корни. Преобразование уравнений Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

Указанное преобразование приводит к равносильному уравнению, т. е. Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

В частности,

Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

Заметим, что здесь речь идет только о переносе членов уравнения из одной части в другую без последующего приведения подобных членов (если таковые имеются).

б) Приведение подобных членов, т. е. переход от уравнения

Уравнение и его корни. Преобразование уравнений Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

к уравнению

Уравнение и его корни. Преобразование уравнений Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

Справедливо следующее легко проверяемое утверждение:

Для любых функций Уравнение и его корни. Преобразование уравненийуравнение (4) является следствием уравнения (3), т. е. Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

Переход от уравнения (3) к уравнению (4) является допустимым преобразованием, при котором потеря корней невозможна, но могут появиться посторонние корни. Все сказанное остается в силе при замене уравнения (3) уравнением

Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

Таким образом, при приведении подобных членов, а также при отбрасывании одинаковых слагаемых в левой и правой частях уравнения получается уравнение, являющееся следствием исходного уравнения.

Например, если в левой и правой частях уравнения

Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

вычеркнуть слагаемое Уравнение и его корни. Преобразование уравнений, то получится уравнение

Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

являющееся следствием исходного: второе уравнение имеет корни Уравнение и его корни. Преобразование уравнений а первое — единственный корень Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

Отметим еще, что если ОДЗ уравнения (4) содержится в области определения функции Уравнение и его корни. Преобразование уравнений, то уравнения (3) и (4) равносильны.

в) Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию, т. е. переход от уравнения (4) к уравнению

Уравнение и его корни. Преобразование уравнений Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

Справедливы следующие утверждения:

1°. Если ОДЗ уравнения (4), т. е. пересечение областей определения функций Уравнение и его корни. Преобразование уравнений и Уравнение и его корни. Преобразование уравнений, содержится в области определения функции Уравнение и его корни. Преобразование уравнений, то уравнение (5) является следствием уравнения (4).

2°. Если функция Уравнение и его корни. Преобразование уравнений определена и отлична от нуля в ОДЗ уравнения (4), то уравнения (4) и (5) равносильны.

Заметим, что в общем случае переход от уравнения (5) к уравнению (4) недопустим: этот переход может привести к потере корней.

При решении уравнения вида (5) обычно заменяют его равносильным уравнением

Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

затем находят корни уравнений

Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

и, наконец, проверяют, какие из этих корней удовлетворяют уравнению (5).

г) Возведение обеих частей уравнения в натуральную степень, т. е. переход от уравнения

Уравнение и его корни. Преобразование уравнений Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

к уравнению

Уравнение и его корни. Преобразование уравнений Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

Справедливы следующие утверждения:

1°. При любом Уравнение и его корни. Преобразование уравнений уравнение (7) является следствием уравнения (6).

2°. Если Уравнение и его корни. Преобразование уравнений(n — нечетное число), то уравнения (6) и (7) равносильны.

3°. Если Уравнение и его корни. Преобразование уравнений(n — нечетное число), то уравнение (7) равносильно уравнению

Уравнение и его корни. Преобразование уравнений Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

а уравнение (8) равносильно совокупности уравнений

Уравнение и его корни. Преобразование уравнений Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

В частности, уравнение

Уравнение и его корни. Преобразование уравнений Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

равносильно совокупности уравнений (9). Если обе функции Уравнение и его корни. Преобразование уравненийи Уравнение и его корни. Преобразование уравнений принимают значения одного знака (например, Уравнение и его корни. Преобразование уравнений и Уравнение и его корни. Преобразование уравнений в ОДЗ уравнения (6), то уравнение (10) равносильно уравнению (6).

Более общим, чем переход к уравнению (7), является переход от уравнения (6) к уравнению

Уравнение и его корни. Преобразование уравнений Уравнение и его корни. Преобразование уравнений

где Уравнение и его корни. Преобразование уравнений — некоторая заданная функция.

Заметим, что в общем случае такой переход недопустим. В том случае, когда пересечение множеств значений функций Уравнение и его корни. Преобразование уравнений и Уравнение и его корни. Преобразование уравненийсодержится в области определения функции Уравнение и его корни. Преобразование уравнений, уравнение (11) является следствием уравнения (6). Если, кроме того, известно, что Уравнение и его корни. Преобразование уравнений — строго возрастающая или строго убывающая функция, то уравнения (6) и (11) равносильны.

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Арктангенс с примерами решения
Числовые неравенства примеры с решением
Рациональные уравнения примеры с решением
Иррациональные уравнения примеры с решением