Для связи в whatsapp +905441085890

Уравнение прямой на плоскости в математике

Уравнение прямой на плоскости

Уравнение прямой, проходящей через точку плоскости Уравнение прямой на плоскости и имеющей нормальный вектор Уравнение прямой на плоскости. записывается в виде

Уравнение прямой на плоскости

Используя обозначение

Уравнение прямой на плоскости

получим общее уравнение прямой на плоскости:

Уравнение прямой на плоскости

Две прямые, заданные своими общими уравнениями

Уравнение прямой на плоскости

параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты при переменных Уравнение прямой на плоскости и Уравнение прямой на плоскости пропорциональны, т.е.:

Уравнение прямой на плоскости

Две прямые, заданные своими общими уравнениями, перпендикулярны тогда и только тогда, когда верно равенство

Уравнение прямой на плоскости

Уравнение прямой, проходящей через две точки плоскости Уравнение прямой на плоскостии Уравнение прямой на плоскости записывается в виде

Уравнение прямой на плоскости

Тангенс угла наклона этой прямой к оси Уравнение прямой на плоскости называется угловым коэффициентом прямой:

Уравнение прямой на плоскости

а ее направляющий вектор

Уравнение прямой на плоскости

имеет координаты, равные

Уравнение прямой на плоскости
Уравнение прямой на плоскости

Уравнение прямой с известным угловым коэффициентом Уравнение прямой на плоскости имеет вид

Уравнение прямой на плоскости

где Уравнение прямой на плоскости — величина отрезка, отсекаемого данной прямой на оси Уравнение прямой на плоскости от начала координат, Уравнение прямой на плоскости (см. рис. 2.4).

Объединив полученные результаты, запишем уравнение прямой с известным угловым коэффициентом Уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку плоскости Уравнение прямой на плоскости:

Уравнение прямой на плоскости

Под углом между прямыми на плоскости понимают наименьший из двух смежных углов, образованных этими прямыми. Если две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:

Уравнение прямой на плоскости

то угол Уравнение прямой на плоскости между ними определяется по формуле

Уравнение прямой на плоскости

Условие параллельности этих прямых имеет вид

Уравнение прямой на плоскости

а условие перпендикулярности:

Уравнение прямой на плоскости

Расстоянием Уравнение прямой на плоскости от точки Уравнение прямой на плоскости до прямой Уравнение прямой на плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Расстояние Уравнение прямой на плоскости определяется по формуле

Уравнение прямой на плоскости

Пример:

Даны координаты вершин треугольника Уравнение прямой на плоскости:

Уравнение прямой на плоскости

Требуется: 1) найти длину стороны Уравнение прямой на плоскости; 2) составить уравнения сторон Уравнение прямой на плоскости и Уравнение прямой на плоскости и вычислить их угловые коэффициенты; 3) вычислить внутренний угол при вершине Уравнение прямой на плоскости в радианах; 4) составить уравнение медианы Уравнение прямой на плоскости; 5) составить уравнение и вычислить длину высоты Уравнение прямой на плоскости: 6) составить уравнение прямой, проходящей через точку Уравнение прямой на плоскости параллельно стороне Уравнение прямой на плоскости и определить координаты точки Уравнение прямой на плоскости ее пересечения с высотой Уравнение прямой на плоскости: 7) составить уравнение окружности с центром в точке Уравнение прямой на плоскости, проходящей через вершину Уравнение прямой на плоскости.

Указание. Заданный треугольник, все полученные линии и характерные точки необходимо построить в системе координат Уравнение прямой на плоскости.

► 1. Найдем длину стороны Уравнение прямой на плоскости. Расстояние между двумя точками

Уравнение прямой на плоскости

определяется по формуле

Уравнение прямой на плоскости

воспользовавшись которой находим длину стороны Уравнение прямой на плоскости:

Уравнение прямой на плоскости
  • Составим уравнения сторон Уравнение прямой на плоскости и Уравнение прямой на плоскости и вычислим их угловые коэффициенты. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости
Уравнение прямой на плоскости
  • имеет вид
Уравнение прямой на плоскости

Подставляя в формулу координаты точек Уравнение прямой на плоскости и Уравнение прямой на плоскости, получаем общее уравнение стороны Уравнение прямой на плоскости:

Уравнение прямой на плоскости

Угловой коэффициент Уравнение прямой на плоскости для прямой Уравнение прямой на плоскости найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом Уравнение прямой на плоскости. В нашем случае:

Уравнение прямой на плоскости

Аналогично получим общее уравнение прямой Уравнение прямой на плоскости и найдем ее угловой коэффициент Уравнение прямой на плоскости:

Уравнение прямой на плоскости

Далее:

Уравнение прямой на плоскости
  • При нахождении внутреннего угла Уравнение прямой на плоскости для заданного треугольника Уравнение прямой на плоскости воспользуемся формулой
Уравнение прямой на плоскости

Подставив ранее вычисленные значения Уравнение прямой на плоскости и Уравнение прямой на плоскости, находим:

Уравнение прямой на плоскости

Теперь, воспользовавшись таблицами значений тригонометрических функций или инженерным микрокалькулятором, получаем значение угла в радианах Уравнение прямой на плоскости.

  • Для составления уравнения медианы Уравнение прямой на плоскости вычислим сначала координаты точки Уравнение прямой на плоскости, которая лежит на середине отрезка Уравнение прямой на плоскости:
Уравнение прямой на плоскости

Подставив координаты точек Уравнение прямой на плоскости и Уравнение прямой на плоскости в уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, получаем общее уравнение медианы Уравнение прямой на плоскости:

Уравнение прямой на плоскости
  • Для составления уравнения высоты Уравнение прямой на плоскости воспользуемся условием перпендикулярности прямых Уравнение прямой на плоскости и Уравнение прямой на плоскости:
Уравнение прямой на плоскости

откуда следует, что

Уравнение прямой на плоскости

Подставив в уравнение

Уравнение прямой на плоскости

значение Уравнение прямой на плоскости и соответствующие координаты точки Уравнение прямой на плоскости, найдем общее уравнение высоты Уравнение прямой на плоскости:

Уравнение прямой на плоскости

Длину высоты Уравнение прямой на плоскости определим как расстояние Уравнение прямой на плоскости от заданной точки Уравнение прямой на плоскости(—4; 5) до прямой Уравнение прямой на плоскости по формуле

Уравнение прямой на плоскости
  • Составим уравнение прямой, проходящей через точку Уравнение прямой на плоскости параллельно стороне Уравнение прямой на плоскости. Воспользуемся условием параллельности прямой Уравнение прямой на плоскости и искомой прямой Уравнение прямой на плоскости:
Уравнение прямой на плоскости

Подставив в уравнение

Уравнение прямой на плоскости

координаты точки Уравнение прямой на плоскости и значение Уравнение прямой на плоскости. получим искомое уравнение прямой Уравнение прямой на плоскости:

Уравнение прямой на плоскости

Координаты точки Уравнение прямой на плоскости, как точки пересечения прямых Уравнение прямой на плоскости и Уравнение прямой на плоскости, найдем, объединив уравнения этих прямых в систему и решив ее:

Уравнение прямой на плоскости

Отсюда координаты точки Уравнение прямой на плоскости (см. рис. 2.5).

Уравнение прямой на плоскости
  • Запишем уравнение окружности с центром в точке Уравнение прямой на плоскости и радиусом, равным Уравнение прямой на плоскости в каноническом виде
Уравнение прямой на плоскости

По условию радиус искомой окружности равен расстоянию от ее центра (точки Уравнение прямой на плоскости) до точки Уравнение прямой на плоскости. В таком случае можно записать, что Уравнение прямой на плоскости а следовательно и Уравнение прямой на плоскости:

Уравнение прямой на плоскости

Заменив в уравнении окружности координаты центра Уравнение прямой на плоскости на координаты точки Уравнение прямой на плоскости а Уравнение прямой на плоскости на Уравнение прямой на плоскости получим искомое уравнение окружности:

Уравнение прямой на плоскости

На рис. 2.5 показано построение заданного треугольника Уравнение прямой на плоскости, а также всех полученных линий и характерных точек в системе координат Уравнение прямой на плоскости.

Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:

Помощь по математике

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Линейная зависимость и координаты векторов в математике
Линейные операции над векторами в координатной форме в математике
Уравнения прямой и плоскости в пространстве в математике
Уравнения линий второго порядка на плоскости в математике