Оглавление:
Уравнения, допускающие понижение порядка
Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.
Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка.
I. Пусть дано уравнение
Порядок можно понизить, введя новую функцию 
, положив 
. Тогда 
и получаем ДУ первого порядка: 
. Решив его, т. е. найдя функцию 
, решим уравнение . Получим общее решение заданного уравнения (49.6).
На практике поступают иначе: порядок понижается непосредственно путем последовательного интегрирования уравнения.
Так как 
уравнение (49.6) можно записать в виде 
. Тогда, интегрируя уравнение 
, получаем: 
, или 
. Далее, интегрируя полученное уравнение по 
, находим: 
, т. е. 
— общее решение данного уравнения.
Если дано уравнение
то, проинтегрировав его последовательно 
раз, найдем общее решение уравнения: 
.
Пример №49.1.
Решить уравнение 
.
Решение: Последовательно интегрируя четыре раза данное уравнение, получим
II. Пусть дано уравнение
не содержащее явно искомой функции 
.
Обозначим 
, где — новая неизвестная функция. Тогда 
и уравнение (49.7) принимает вид 
. Пусть 
— общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию 
на 
, получаем ДУ: 
. Оно имеет вид (49.6). Для отыскания у достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение уравнения (49.7) будет иметь вид 
.
Частным случаем уравнения (49.7) является уравнение
не содержащее также и независимую переменную . Оно интегрируется гем же способом: 
. Получаем уравнение 
с разделяющимися переменными.
Если задано уравнение вида
которое также не содержит явно искомой функции, то его порядок можно понизить на 
единиц, положив 
. Тогда 
; 
и уравнение (49.9) примет вид 
.
Частным случаем уравнения (49.9) является уравнение
или
С помощью замены 
это уравнение сводится к ДУ первого порядка.
Дополнительные примеры:
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Уравнение в полных дифференциалах интегрирующий множитель |
| Уравнения Лагранжа и Клеро |
| Линейные однородные ДУ второго порядка |
| Линейные однородные ДУ n-го порядка |
