Уравнения движения плоской фигуры

Уравнения движения плоской фигуры. Уравнения движения точки плоской фигуры

Возьмем в плоскости движения фигуры Уравнения движения плоской фигуры систему координат Уравнения движения плоской фигуры, неподвижную по отношению к этой плоскости. Выберем на фигуре Уравнения движения плоской фигуры какую-либо точку Уравнения движения плоской фигуры и примем ее за начало другой системы координат Уравнения движения плоской фигуры, неизменно связанной с движущейся фигурой (рис. 143).

Положение подвижной системы координат Уравнения движения плоской фигуры, а следовательно, и самой фигуры Уравнения движения плоской фигуры в ее плоскости, определяется положением точки Уравнения движения плоской фигуры и углом Уравнения движения плоской фигуры поворота фигуры (т. е. углом между положительными направлениями осей Уравнения движения плоской фигуры и Уравнения движения плоской фигуры).

Уравнения движения плоской фигуры

Произвольная точка Уравнения движения плоской фигуры, неразрывно связанная с движущейся фигурой и выбираемая для определения положения фигуры, называется полюсом.

При движении фигуры Уравнения движения плоской фигуры в ее плоскости координаты полюса (в нашем случае точки Уравнения движения плоской фигуры) и угол Уравнения движения плоской фигуры изменяются с течением времени и являются однозначными и непрерывными функциями времени:

Уравнения движения плоской фигуры

Если эти функции известны, то для каждого момента времени можно найти соответствующие ему значения Уравнения движения плоской фигуры и Уравнения движения плоской фигуры и следовательно, определить положение движущейся фигуры Уравнения движения плоской фигуры в ее плоскости.

Таким образом, уравнения (98) являются уравнениями движения плоской фигуры Уравнения движения плоской фигуры или, что то же, уравнениями плоского движения тела.

Если движение фигуры Уравнения движения плоской фигуры задано уравнениями (98), то нетрудно найти и уравнения движения любой ее точки Уравнения движения плоской фигуры.

Как известно из аналитической геометрии (формулы преобразования координат при повороте координатных осей и переносе их начала), координаты Уравнения движения плоской фигуры и Уравнения движения плоской фигуры точки Уравнения движения плоской фигуры относительно «неподвижной» системы координат Уравнения движения плоской фигуры будут выражаться следующими зависимостями:

Уравнения движения плоской фигуры

где Уравнения движения плоской фигуры — координаты полюса Уравнения движения плоской фигуры (произвольной точки фигуры), Уравнения движения плоской фигуры — координаты точки Уравнения движения плоской фигуры относительно подвижной системы координат Уравнения движения плоской фигуры неизменно связанной с данной фигурой; Уравнения движения плоской фигуры — угол поворота фигуры.

Уравнения (99) являются уравнениями движения произвольной точки Уравнения движения плоской фигуры фигуры в ее плоскости.

Эти уравнения позволяют аналитически определить траекторию, скорость и ускорение любой точки плоской фигуры.

Пример задачи:

Линейка Уравнения движения плоской фигуры эллипсографа (рис. 144) приводится в движение кривошипом Уравнения движения плоской фигуры, вращающимся с постоянной угловой скоростью Уравнения движения плоской фигуры. Составить уравнения движения линейки и ее точки Уравнения движения плоской фигуры. Найти также траекторию этой точки.

Дано:

Уравнения движения плоской фигуры

Решение:

Возьмем за начало неподвижной системы координат центр Уравнения движения плоской фигуры вращения кривошипа. Ось Уравнения движения плоской фигуры направим горизонтально вправо, ось Уравнения движения плоской фигуры — вертикально вверх.

За начало подвижной системы координат примем точку Уравнения движения плоской фигуры. Ось Уравнения движения плоской фигурынаправим вдоль линейки вправо, ось Уравнения движения плоской фигуры — вверх.

Как видно из рис. 144, координатами полюса Уравнения движения плоской фигуры будут:

Уравнения движения плоской фигуры
Уравнения движения плоской фигуры

Угол поворота равномерно вращающегося кривошипа Уравнения движения плоской фигуры Из рис. 144 нетрудно видеть, что направление поворота линейки эллипсографа относительно полюса Уравнения движения плоской фигуры противоположно направлению вращения кривошипа, следовательно, соответствующий углу а поворота кривошипа угол Уравнения движения плоской фигуры поворота линейки Уравнения движения плоской фигуры эллипсографа

Уравнения движения плоской фигуры

Таким образом, уравнениями движения линейки Уравнения движения плоской фигуры будут:

Уравнения движения плоской фигуры

Координаты точки Уравнения движения плоской фигуры этой линейки в подвижной системе (рис. 144):

Уравнения движения плоской фигуры

По формулам (99) находим теперь уравнения движения этой точки в плоскости Уравнения движения плоской фигуры:

Уравнения движения плоской фигуры

Полученные уравнения движения точки Уравнения движения плоской фигуры служат одновременно и уравнениями ее траектории в параметрической форме. Для того чтобы получить уравнение траектории в обычной форме, исключим из них параметр Уравнения движения плоской фигуры:

Уравнения движения плоской фигуры

Следовательно, траекторией любой точки Уравнения движения плоской фигуры линейки будет эллипс с полуосями

Уравнения движения плоской фигуры

и центром в точке Уравнения движения плоской фигуры.

По найденным уравнениям (1) движения точки в прямоугольных координатах нетрудно найти как проекции

Уравнения движения плоской фигуры

ее скорости, так и проекции

Уравнения движения плоской фигуры

ее ускорения на координатные оси, а затем модули и направления скорости Уравнения движения плоской фигуры и ускорения Уравнения движения плоской фигуры точки Уравнения движения плоской фигуры для любого момента времени.

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Теоретическая механика — задачи с решением и примерами

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Причины возникновения ускорения Кориолиса и его определение + пример с решением
Понятие плоского движения тела
Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное + пример с решением
Теорема о проекциях скоростей двух точек фигуры + пример с решением